Exercício 21. Calcule
, onde
a região limitada por
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região limitada pelas curvas
,
e
.
Informações dadas e o que é pedido:
- A função a integrar é
. - As fronteiras da região
são: - a reta vertical
, - o eixo
, - a reta
.
- a reta vertical
- Precisamos determinar a região
no plano e montar a integral iterada correta para calcular o valor numérico de .
Passo 2
Identificar a região
no plano e os limites de integração.
-
Encontros das curvas (interseções):
-
com ocorre quando , ou seja . Ponto: . -
com dá o ponto . -
com dá . Ponto: .
-
-
Visualização / descrição de
: - Os pontos que formam o contorno são
, e . - A região é triangular, limitada pela reta vertical
à direita, pela reta acima (quando visto para a esquerda) e pelo eixo abaixo.
- Os pontos que formam o contorno são
-
Escolha das variáveis de integração:
- É conveniente integrar primeiro em
(para cada fixo), porque a curva dá em função de . - Para
variando de até , o correspondente varia de até . - Portanto os limites serão
e, para cada , .
- É conveniente integrar primeiro em
Passo 3
Montar a integral iterada e lembrar a ideia usada.
-
Teoria rápida e útil (fórmula e interpretação):
- Uma integral dupla sobre uma região
que pode ser descrita por pode ser escrita como integral iterada - Aqui
, , , , .
- Uma integral dupla sobre uma região
-
Montagem da integral:
Passo 4
Calcular a integral interna (integrar em
) passo a passo.
-
Compute a primitiva em
de , tratando como constante: - A primitiva de
em relação a é (pois ). - A primitiva de
em relação a é . - Logo uma primitiva completa em
é .
- A primitiva de
-
Avaliar entre os limites
e : Agora substituindo:- Em
: - Em
:
Portanto
- Em
Passo 5
Calcular a integral externa (integrar em
) com o resultado da interna.
-
Substituir o resultado da interna na integral externa:
-
Calcular a primitiva de
em : - A primitiva de
é . - Multiplicando por
, a primitiva é .
- A primitiva de
-
Avaliar entre
e : Calcular, então
Passo 6
Breve interpretação e checagem de sinal (motivacional e intuitiva).
- O resultado é negativo: isso faz sentido porque, na maior parte da região
(exceto na vizinhança de ), tem-se (pois vai até ), então o integrando é negativo na maior parte da área. Logo esperar um valor negativo é razoável. - Bom trabalho! A técnica fundamental aqui foi reconhecer a região e usar integração iterada (Fubini) escolhendo a ordem que deixa os limites simples.