Exercício 21. Calcule \iint_{D}(x-y) d x d y, onde D a região limitada por x=4, y=0 e y=4 x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} (x-y)\,dx\,dy,
onde D é a região limitada pelas curvas x=4, y=0 e y=4x.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função a integrar é (x-y).
  • As fronteiras da região D são:
    • a reta vertical x=4,
    • o eixo y=0,
    • a reta y=4x.
  • Precisamos determinar a região D no plano e montar a integral iterada correta para calcular o valor numérico de \iint_{D}(x-y)\,dx\,dy.

Passo 2

Identificar a região D no plano e os limites de integração.
  1. Encontros das curvas (interseções):
    • y=0 com y=4x ocorre quando 0=4x, ou seja x=0. Ponto: (0,0).
    • x=4 com y=0 dá o ponto (4,0).
    • x=4 com y=4x y=4\cdot 4=16. Ponto: (4,16).
  2. Visualização / descrição de D:
    • Os pontos que formam o contorno são (0,0), (4,0) e (4,16).
    • A região é triangular, limitada pela reta vertical x=4 à direita, pela reta y=4x acima (quando visto para a esquerda) e pelo eixo y=0 abaixo.
  3. Escolha das variáveis de integração:
    • É conveniente integrar primeiro em y (para cada x fixo), porque a curva y=4x y em função de x.
    • Para x variando de 0 até 4, o y correspondente varia de y=0 até y=4x.
    • Portanto os limites serão 0\le x\le 4 e, para cada x, 0\le y\le 4x.

Passo 3

Montar a integral iterada e lembrar a ideia usada.
  1. Teoria rápida e útil (fórmula e interpretação):
    • Uma integral dupla sobre uma região D que pode ser descrita por \{(x,y): a\le x\le b,\; g_1(x)\le y\le g_2(x)\} pode ser escrita como integral iterada \iint_{D} f(x,y)\,dx\,dy = \int_{x=a}^{b} \left( \int_{y=g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy \right) dx.
    • Aqui f(x,y)=(x-y), a=0, b=4, g_1(x)=0, g_2(x)=4x.
  2. Montagem da integral:
    \iint_{D} (x-y)\,dx\,dy = \int_{x=0}^{4} \left( \int_{y=0}^{4x} (x-y)\,dy \right) dx.

Passo 4

Calcular a integral interna (integrar em y) passo a passo.
  1. Compute a primitiva em y de x-y, tratando x como constante:
    • A primitiva de x em relação a y é x y (pois \frac{d}{dy}(x y)=x).
    • A primitiva de -y em relação a y é -\dfrac{y^{2}}{2}.
    • Logo uma primitiva completa em y é x y - \dfrac{y^{2}}{2}.
  2. Avaliar entre os limites y=0 e y=4x:
    \int_{y=0}^{4x} (x-y)\,dy = \left[ x y - \frac{y^{2}}{2} \right]_{0}^{4x}.
    Agora substituindo:
    • Em y=4x: x\cdot(4x) - \dfrac{(4x)^{2}}{2} = 4x^{2} - \dfrac{16x^{2}}{2} = 4x^{2} - 8x^{2} = -4x^{2}.
    • Em y=0: x\cdot 0 - \dfrac{0^{2}}{2}=0.
      Portanto
    \int_{y=0}^{4x} (x-y)\,dy = -4x^{2}.

Passo 5

Calcular a integral externa (integrar em x) com o resultado da interna.
  1. Substituir o resultado da interna na integral externa:
    \iint_{D} (x-y)\,dx\,dy = \int_{x=0}^{4} \bigl(-4x^{2}\bigr)\,dx.
  2. Calcular a primitiva de -4x^{2} em x:
    • A primitiva de x^{2} é \dfrac{x^{3}}{3}.
    • Multiplicando por -4, a primitiva é -4\cdot \dfrac{x^{3}}{3} = -\dfrac{4x^{3}}{3}.
  3. Avaliar entre x=0 e x=4:
    \int_{0}^{4} -4x^{2}\,dx = \left[ -\frac{4x^{3}}{3} \right]_{0}^{4} = -\frac{4\cdot 4^{3}}{3} + \frac{4\cdot 0^{3}}{3}.
    Calcular 4^{3}=64, então
    -\frac{4\cdot 64}{3} = -\frac{256}{3}.

Passo 6

Breve interpretação e checagem de sinal (motivacional e intuitiva).
  • O resultado é negativo: isso faz sentido porque, na maior parte da região D (exceto na vizinhança de x=0), tem-se y> x (pois y vai até 4x), então o integrando x-y é negativo na maior parte da área. Logo esperar um valor negativo é razoável.
  • Bom trabalho! A técnica fundamental aqui foi reconhecer a região e usar integração iterada (Fubini) escolhendo a ordem que deixa os limites simples.

Resposta

-\dfrac{256}{3}

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