Exercício 19. Considere as seguintes três bases de R^3 :
l B=(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1) C=(1,1,-1),(1,-1,1),(-1,1,1) e D=(1,3,0),(0,1,0),(2,2,1)
Seja T: R^3 R^3 a transformação linear tal que
(1) [T]B^C é a matriz 3 times 3 identidade.
Calcule [T]D^D de duas formas diferentes (como nas partes acima e depois usando as matrizes das partes anteriores)

Passo 1

O enunciado dá três bases de R^3:
B=b1=(1,1,0),,b2=(1,0,1),,b3=(0,1,1),
C=c1=(1,1,-1),,c2=(1,-1,1),,c3=(-1,1,1),
D=d1=(1,3,0),,d2=(0,1,0),,d3=(2,2,1)
A transformação linear T satisfaz
[T]B^C=I3,
isto é, T(bi)=ci para i=1,2,3. Nosso objetivo é encontrar
[T]D^D,
primeiro calculando T(dj) e expressando em D, e depois usando mudança de base via matrizes de transição.

Passo 2

Para cada dj fazemos: 1) escrever dj em coordenadas de B; 2) aplicar T trocando bito ci; 3) reescrever T(dj) em coordenadas de D.
  1. d1=(1,3,0). Procuramos a,b,c tais que
a,b1+b,b2+c,b3=(a+b,;a+c,;b+c)=(1,3,0)
Resolvendo, achamos (a,b,c)=(2,-1,1). Então
T(d1)=2c1-1c2+1c3=(0,4,-2)
Agora escrevemos (0,4,-2)=x,d1+y,d2+z,d3, ou seja
(x+2z,;3x+y+2z,;z)=(0,4,-2),
daí (x,y,z)=(4,-4,-2).
  1. d2=(0,1,0). Similarmente, resolvemos
    (a+b,a+c,b+c)=(0,1,0) e obtemos (a,b,c)=(tfrac12,-tfrac12,tfrac12). Logo
T(d2)=tfrac12c1-tfrac12c2+tfrac12c3=(-tfrac12,tfrac32,-tfrac12)
Expressando em D, obtemos (x,y,z)=(tfrac12,1,-tfrac12).
  1. d3=(2,2,1). Resolvendo (a+b,a+c,b+c)=(2,2,1) (a,b,c)=(tfrac32,tfrac12,tfrac12). Então
T(d3)=tfrac32c1+tfrac12c2+tfrac12c3=(tfrac32,tfrac32,-tfrac12),
e em D isso corresponde a (x,y,z)=(tfrac52,-5,-tfrac12).
Portanto, em D,
[T]D^D= 4 & tfrac12 & tfrac52 -4 & 1 & -5 -2 & -tfrac12 & -tfrac12

Passo 3

Sabemos
[T]D^D =[Id]C^D;l[Tr]B^C;[Id]D^B =[Id]C^D;I3;[Id]D^B =[Id]C^D,[Id]D^B
Aqui [Id]D^B é a matriz cujas colunas são as coordenadas de dj na base B, já calculadas:
[Id]D^B = 2 & tfrac12 & tfrac32 -1 & -tfrac12 & tfrac12 1 & tfrac12 & tfrac12
E [Id]C^D tem colunas as coordenadas de ci em D, que se obtêm resolvendo
(x+2z,3x+y+2z,z)=ci. Isso dá
[Id]C^D = 3 & -1 & -3 -6 & 0 & 8 -1 & 1 & 1
Multiplicando,
[T]D^D = 3 & -1 & -3 -6 & 0 & 8 -1 & 1 & 1 ! 2 & tfrac12 & tfrac32 -1 & -tfrac12 & tfrac12 1 & tfrac12 & tfrac12 = 4 & tfrac12 & tfrac52 -4 & 1 & -5 -2 & -tfrac12 & -tfrac12 ,
confirmando o resultado do método 1.

Resposta

[T]D^D = 4 & tfrac12 & tfrac52 -4 & 1 & -5 -2 & -tfrac12 & -tfrac12

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