Exercício 19. Considere as seguintes três bases de R^3 :
l B=(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1) C=(1,1,-1),(1,-1,1),(-1,1,1) e D=(1,3,0),(0,1,0),(2,2,1)
Seja T: R^3 R^3 a transformação linear tal que
(1) [T]B^C é a matriz 3 times 3 identidade.
Calcule [T]C^D

Passo 1

O enunciado dá três bases de R^3,
B=b1=(1,1,0),,b2=(1,0,1),,b3=(0,1,1), C=c1=(1,1,-1),,c2=(1,-1,1),,c3=(-1,1,1), D=d1=(1,3,0),,d2=(0,1,0),,d3=(2,2,1),
e uma transformação linear T tal que [T]B^C é a identidade.
Isso significa que
T(bj)=cj, j=1,2,3
Queremos [T]C^D, ou seja, as coordenadas de T(cj) na base D.

Passo 2

Para cada j=1,2,3 faremos:
1. Expressar cj como combinação linear de b1,b2,b3.
2. Usar linearidade e T(bi)=ci para achar T(cj) em coordenadas canônicas.
3. Expressar esse T(cj) como combinação de d1,d2,d3 para obter a j-ésima coluna de [T]C^D.

Passo 3

Para
o que dá
Daí , .
Como , então
em coordenadas canônicas. Agora escrevemos
isto é
Segue , .
Logo a primeira coluna de é

Passo 4

Para c2=(1,-1,1) em B resolvemos
alpha+beta=1, alpha+gamma=-1, beta+gamma=1
e achamos alpha=-tfrac12, beta=tfrac32, gamma=-tfrac12.
Então
T(c2) =-tfrac12,c1+tfrac32,c2-tfrac12,c3 =(tfrac32,-tfrac52,tfrac32)
Em D resolvemos
u+2w=tfrac32, 3u+v+2w=-tfrac52, w=tfrac32
e obtemos u=-tfrac32, v=-1, w=tfrac32.
A segunda coluna é
l[-tfrac32,,-1,,tfrac32r]^T

Passo 5

Para c3=(-1,1,1) em B resolvemos
alpha+beta=-1, alpha+gamma=1, beta+gamma=1
e achamos alpha=-tfrac12, beta=-tfrac12, gamma=tfrac32.
Então
T(c3) =-tfrac12,c1-tfrac12,c2+tfrac32,c3 =(-tfrac52,tfrac32,tfrac32)
Em D resolvemos
u+2w=-tfrac52, 3u+v+2w=tfrac32, w=tfrac32
e obtemos u=-tfrac112, v=15, w=tfrac32.
A terceira coluna é
l[-tfrac112,,15,,tfrac32r]^T

Passo 6

Juntando as colunas, temos
[T]C^D = 132 & -32 & -112 -13 & -1 & 15 -52 & 32 & 32

Resposta

[T]C^D = 132 & -32 & -112 -13 & -1 & 15 -52 & 32 & 32

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