Exercício 19. Considere as seguintes três bases de R^3 :
l B=(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1) C=(1,1,-1),(1,-1,1),(-1,1,1) e D=(1,3,0),(0,1,0),(2,2,1)
Seja T: R^3 R^3 a transformação linear tal que
(2) [T]D^D é a matriz identidade.
Calcule [T]C^B

Passo 1

O enunciado dá três bases de R^3:
B=(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1), C=(1,1,-1),(1,-1,1),(-1,1,1), D=(1,3,0),(0,1,0),(2,2,1),
e uma transformação linear T tal que
[T]D^D = I3times3
Como a matriz de T na base D é a identidade, T é a transformação identidade em R^3. Para achar [T]C^B, basta calcular a matriz de mudança de base de C para B, isto é, expressar cada vetor de C em coordenadas da base B.

Passo 2

Seja (v1,v2,v3) as coordenadas em B do vetor (1,1,-1)in C. Precisamos resolver
v1,(1,1,0)+v2,(1,0,1)+v3,(0,1,1)=(1,1,-1)
Isso gera o sistema
v1 + v2 = 1, v1 + v3 = 1, v2 + v3 = -1
Daí obtemos
v1 = tfrac32, v2 = -tfrac12, v3 = -tfrac12

Passo 3

Agora expressamos (1,-1,1)in C. Chamando as coordenadas em B de (w1,w2,w3), temos
w1 + w2 = 1, w1 + w3 = -1, w2 + w3 = 1,
cuja solução é
w1 = -tfrac12, w2 = tfrac32, w3 = -tfrac12

Passo 4

Finalmente, para (-1,1,1)in C, chamando as coordenadas em B de (u1,u2,u3), resolvemos
u1 + u2 = -1, u1 + u3 = 1, u2 + u3 = 1,
e achamos
u1 = -tfrac12, u2 = -tfrac12, u3 = tfrac32

Passo 5

Reunindo as coordenadas encontradas em colunas, a matriz de mudança de base de C para B — que é [T]C^B — fica
[T]C^B = 32 & -12 & -12 -12 & 32 & -12 -12 & -12 & 32

Resposta

[T]C^B = 32 & -12 & -12 -12 & 32 & -12 -12 & -12 & 32

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