Exercício 19. Considere as seguintes três bases de :
Seja a transformação linear tal que
(2) é a matriz identidade.
Calcule
Passo 1
O enunciado dá três bases de :
e uma transformação linear tal que
Como a matriz de na base é a identidade, é a transformação identidade em . Para achar , basta calcular a matriz de mudança de base de para , isto é, expressar cada vetor de em coordenadas da base .
Passo 2
Seja as coordenadas em do vetor . Precisamos resolver
Isso gera o sistema
Daí obtemos
v1 = tfrac32, v2 = -tfrac12, v3 = -tfrac12
Passo 3
Agora expressamos (1,-1,1)in C. Chamando as coordenadas em B de (w1,w2,w3), temos
w1 + w2 = 1, w1 + w3 = -1, w2 + w3 = 1,
cuja solução é
w1 = -tfrac12, w2 = tfrac32, w3 = -tfrac12
Passo 4
Finalmente, para (-1,1,1)in C, chamando as coordenadas em B de (u1,u2,u3), resolvemos
u1 + u2 = -1, u1 + u3 = 1, u2 + u3 = 1,
e achamos
u1 = -tfrac12, u2 = -tfrac12, u3 = tfrac32
Passo 5
Reunindo as coordenadas encontradas em colunas, a matriz de mudança de base de C para B — que é [T]C^B — fica