Sejam as retas no espaço r : x-1=y-1=z e t que passa por A=(0,0,-3) e B=(2,4,-5). Escreva suas equações paramétricas e mostre que elas não se intersectam em nenhum ponto.

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas das retas r e t no espaço e que mostremos que elas não se intersectam. O conteúdo é Geometria Analítica no espaço: converter de forma simétrica para forma paramétrica e resolver um sistema para testar interseção.

Passo 2

Para a reta r temos a forma simétrica
x-1 = y-1 = z
Basta introduzir o parâmetro lambda tal que
x-1 = y-1 = z = lambda
Logo a forma paramétrica de r é
x = 1 + lambda, y = 1 + lambda, z = lambda

Passo 3

Para a reta t que passa por A=(0,0,-3) e B=(2,4,-5), o vetor diretor é
AB = (2,4,-5) - (0,0,-3) = (2,4,-2)
Tomando parâmetro mu, a forma paramétrica de t é
x = 0 + 2mu = 2mu, y = 0 + 4mu = 4mu, z = -3 + (-2)mu = -3 - 2mu

Passo 4

Para ver se existe interseção, igualamos coordenadas de r e t:
1 + lambda = 2mu, 1 + lambda = 4mu, lambda = -3 - 2mu
Das duas primeiras igualdades vem
2mu = 4mu implies mu = 0,
e então
1 + lambda = 2cdot 0 implies lambda = -1
Mas a terceira exige
lambda = -3 - 2mu = -3 - 0 = -3,
o que contradiz lambda = -1. Logo não há solução comum.

Resposta

As equações paramétricas são
r: x = 1 + lambda, y = 1 + lambda, z = lambda, t: x = 2mu, y = 4mu, z = -3 - 2mu
E não existe (lambda,mu) que satisfaça todas as três equações simultaneamente, logo as retas não se intersectam.

Exercícios relacionados