Exercício 19. Considere as seguintes três bases de R^3 :
l B=(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1) C=(1,1,-1),(1,-1,1),(-1,1,1) e D=(1,3,0),(0,1,0),(2,2,1)
Seja T: R^3 R^3 a transformação linear tal que
(2) [T]D^D é a matriz identidade.
Calcule [T]B^B.

Passo 1

O enunciado dá três bases de R^3, em particular a base
D=d1,d2,d3=(1,3,0),(0,1,0),(2,2,1),
e diz que a matriz de T na base D é a identidade, ou seja
[T]D^D = I3
O conteúdo aqui é representação de transformações lineares em diferentes bases e mudança de base.

Passo 2

Se [T]D^D=I3, então para cada vetor da base D vale
T(dj)=dj, j=1,2,3
Como a ação de T em toda R^3 é determinada pela sua ação em uma base, segue que
T(v)=vpara todo vinR^3,
ou seja, T é a transformação identidade.

Passo 3

Para qualquer base, a matriz da transformação identidade é a matriz identidade. Em particular, na base
B=b1,b2,b3=(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)
temos
[T]B^B=I3

Resposta

[T]B^B = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

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