Exercício 19. Considere as seguintes três bases de R^3 :
l B=(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1) C=(1,1,-1),(1,-1,1),(-1,1,1) e D=(1,3,0),(0,1,0),(2,2,1)
Seja T: R^3 R^3 a transformação linear tal que
(2) [T]D^D é a matriz identidade.
Calcule [T]B^C

Passo 1

O enunciado dá três bases de R^3:
B=b1,b2,b3, C=c1,c2,c3, D=d1,d2,d3,
sendo
b1=(1,1,0),;b2=(1,0,1),;b3=(0,1,1),
c1=(1,1,-1),;c2=(1,-1,1),;c3=(-1,1,1),
d1=(1,3,0),;d2=(0,1,0),;d3=(2,2,1)
Como [T]D^D=I, T é a transformação identidade. Logo, para achar [T]B^C basta calcular a matriz de passagem de B para D e depois de D para C, pois
[T]B^C =underbracePC D[,cdot,]D^C ;underbracePD B[,cdot,]B^D

Passo 2

Vamos achar PD B, isto é, escrever cada bj em coordenadas da base D.
Para b1=(1,1,0) buscamos a,b,c tais que
(1,1,0)=a,d1+b,d2+c,d3 =(a+2c,;3a+b+2c,;c)
Da 3ª componente vem c=0. Da 1ª, a=1. Da 2ª, 3cdot1 + b + 0 =1implies b=-2.
Analogamente para b2 e b3 encontramos:
[b1]D=(1,,-2,,0), [b2]D=(-1,,1,,1), [b3]D=(-2,,5,,1)
Logo,
PD B = 1 & -1 & -2 -2 & 1 & 5 0 & 1 & 1

Passo 3

Agora PC D: escrevemos cada dj em coordenadas da base C.
Para d1=(1,3,0) buscamos p,q,r tais que
(1,3,0)=p,c1+q,c2+r,c3 =(p+q-r,;p-q+r,;-p+q+r)
Resolvendo dá (p,q,r)=(2,tfrac12,tfrac32).
Para d2 e d3 achamos
[d2]C=(tfrac12,,0,,tfrac12), [d3]C=(2,,tfrac32,,tfrac32)
Assim,
PC D = 2 & tfrac12 & 2 tfrac12 & 0 & tfrac32 tfrac32 & tfrac12 & tfrac32

Passo 4

Como [T]B^C = PC D,PD B, multiplicamos:
2 & tfrac12 & 2 tfrac12 & 0 & tfrac32 tfrac32 & tfrac12 & tfrac32 1 & -1 & -2 -2 & 1 & 5 0 & 1 & 1 = 1 & tfrac12 & tfrac12 tfrac12 & 1 & tfrac12 tfrac12 & tfrac12 & 1

Resposta

[T]B^C = 1 & tfrac12 & tfrac12 tfrac12 & 1 & tfrac12 tfrac12 & tfrac12 & 1

Exercícios relacionados