Exercício 19. Considere as seguintes três bases de
:
Seja
a transformação linear tal que
(2)
é a matriz identidade.
Um cálculo foi necessário na última parte?
(2)
Um cálculo foi necessário na última parte?
Passo 1
O enunciado dá três bases de
,:
,
e
,
e define a transformação linear tal que
e define a transformação linear
ou seja, a matriz de
na base
de domínio e imagem é a identidade. A pergunta final é: “Um cálculo foi necessário na última parte?”
Passo 2
Da condição
concluímos que
é a transformação identidade em
. Em outras palavras, para todo vetor
vale
Passo 3
A matriz de uma transformação identidade, em qualquer par de bases
(domínio) e
(imagem), é exatamente a matriz de mudança de coordenadas de
para
. Em particular, se
, essa matriz é
. Se formos compor representações envolvendo bases diferentes, aparecerá sempre um fator
que não altera o produto.
Passo 4
Na última parte da questão, para obter
em outras bases, bastou multiplicar pelas matrizes identidades que surgiram (ou seja, usar
num produto). Mas multiplicar qualquer matriz por
não exige cálculo efetivo: o resultado permanece o mesmo.
Resposta
Não, não foi necessário fazer cálculo na última parte, pois bastou usar que a matriz identidade não altera o resultado de uma multiplicação.