Exercício 19. Considere as seguintes três bases de R^3 :
l B=(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1) C=(1,1,-1),(1,-1,1),(-1,1,1) e D=(1,3,0),(0,1,0),(2,2,1)
Seja T: R^3 R^3 a transformação linear tal que
(2) [T]D^D é a matriz identidade.
Um cálculo foi necessário na última parte?

Passo 1

O enunciado dá três bases de R^3,:
B=(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),
C=(1,1,-1),(1,-1,1),(-1,1,1) e
D=(1,3,0),(0,1,0),(2,2,1),
e define a transformação linear T:R^3toR^3 tal que
[T]D^D=I,
ou seja, a matriz de T na base D de domínio e imagem é a identidade. A pergunta final é: “Um cálculo foi necessário na última parte?”

Passo 2

Da condição [T]D^D=I concluímos que T é a transformação identidade em R^3. Em outras palavras, para todo vetor vinR^3 vale
T(v)=v

Passo 3

A matriz de uma transformação identidade, em qualquer par de bases X (domínio) e Y (imagem), é exatamente a matriz de mudança de coordenadas de X para Y. Em particular, se X=Y, essa matriz é I. Se formos compor representações envolvendo bases diferentes, aparecerá sempre um fator I que não altera o produto.

Passo 4

Na última parte da questão, para obter [T] em outras bases, bastou multiplicar pelas matrizes identidades que surgiram (ou seja, usar [T]D^D=I num produto). Mas multiplicar qualquer matriz por I não exige cálculo efetivo: o resultado permanece o mesmo.

Resposta

Não, não foi necessário fazer cálculo na última parte, pois bastou usar que a matriz identidade não altera o resultado de uma multiplicação.

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