Sejam as retas r: P=(4,4,-2)+alpha(2,1,-1) e s: P=(3,2,-4)+beta(-1,1,3).
Dê uma equação de um plano pi que contém ao menos dois pontos distintos de r e um ponto de s. Esse plano contém toda a reta s?

Passo 1

O enunciado dá as retas
r:;P=(4,4,-2)+alpha,(2,1,-1), s:;P=(3,2,-4)+beta,(-1,1,3)
e pede um plano pi que contenha dois pontos distintos de r e um ponto de s, além de verificar se pi contém toda a reta s. O conteúdo é geometria analítica no espaço: um plano é determinado por três pontos não colineares, e para testar se uma reta está no plano basta ver se seu vetor diretor é ortogonal ao normal do plano e um de seus pontos está no plano.

Passo 2

Escolhemos dois pontos em r e um em s:
A = (4,4,-2)(alpha=0), B = (6,5,-3)(alpha=1), C = (3,2,-4)(beta=0)

Passo 3

Formamos os vetores
AB=B-A=(6-4,;5-4,;-3+2)=(2,1,-1),
AC=C-A=(3-4,;2-4,;-4+2)=(-1,-2,-2)

Passo 4

O vetor normal ao plano é
n=ABtimesAC =(2,1,-1)times(-1,-2,-2) =(-4,5,-3)

Passo 5

A equação do plano usando A=(4,4,-2) é
-4(x-4)+5(y-4)-3l(z+2r)=0
ou, desenvolvendo,
-4x+16+5y-20-3z-6=0 Longrightarrow 4x-5y+3z+10=0

Passo 6

Para ver se s inteira está em pi, tomamos o ponto genérico de s,
Ps=(3-beta,;2+beta,;-4+3beta),
e substituímos em 4x-5y+3z+10:
4(3-beta)-5(2+beta)+3(-4+3beta)+10 =12-4beta-10-5beta-12+9beta+10 =0
Como o resultado é 0 para todo beta, concluímos que toda a reta s está em pi.

Resposta

Uma equação válida é
4x-5y+3z+10=0
Sim, esse plano contém toda a reta s.

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