Sejam as retas r: P=(4,4,-2)+alpha(2,1,-1) e s: P=(3,2,-4)+beta(-1,1,3).
Determine o ponto de interseção I.

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço em forma paramétrica:
r passa por A=(4,4,-2) com vetor direção vec v=(2,1,-1) e
s passa por B=(3,2,-4) com vetor direção vec w=(-1,1,3).
Queremos achar o ponto I que pertence a ambas, isto é, resolver
(4,4,-2)+alpha,(2,1,-1);=;(3,2,-4)+beta,(-1,1,3)

Passo 2

Escrevemos as equações paramétricas de cada reta:
r: x = 4 + 2alpha, y = 4 + alpha, z = -2 - alpha, s: x = 3 - beta, y = 2 + beta, z = -4 + 3beta

Passo 3

Igualamos as coordenadas em x e y para obter duas equações em alpha e beta:
4 + 2alpha = 3 - beta, 4 + alpha = 2 + beta
Da segunda vem
beta = 4 + alpha - 2 = alpha + 2
Substituindo em 4 + 2alpha = 3 - beta obtém-se
4 + 2alpha = 3 - (alpha + 2);Longrightarrow;4 + 2alpha = 1 - alpha ;Longrightarrow;3alpha = -3 ;Longrightarrow;alpha = -1
Logo beta = -1 + 2 = 1.

Passo 4

Verificamos a consistência na equação de z:
-2 - alpha = -2 - (-1) = -1, -4 + 3beta = -4 + 3cdot1 = -1,
ambos dão -1, logo as retas realmente se cruzam com alpha=-1, beta=1.

Passo 5

Substituindo alpha=-1 em r achamos o ponto de interseção:
x = 4 + 2(-1) = 2, y = 4 + (-1) = 3, z = -2 - (-1) = -1
Portanto,
I = (2,,3,,-1)

Resposta

I = (2,,3,,-1).

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