Exercício 20 Construir um triângulo retângulo conhecendo-se um ângulo agudo e a soma dos dois catetos.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos construir o triângulo ABC retângulo em C de modo que ang<= A=alpha (dado) e a soma dos catetos satisfaça
AC+BC=S
Vamos usar trigonometria para expressar AC em função de S e tanalpha e depois executar construções elementares de soma, tangente e divisão de segmentos.

Passo 2

Num triângulo retângulo com ângulo reto em C e ang<= A=alpha, o cateto oposto a A é BC e o adjacente é AC. Logo,
tanalpha=BCAC, AC+BC=S
Substituindo BC=AC,tanalpha vem
AC(1+tanalpha)=S Longrightarrow AC=S1+tanalpha,
e então BC=AC,tanalpha. Basta, portanto, construir o segmento de comprimento
AC=S1+tanalpha
e em seguida erguer a perpendicular em C num ângulo alpha em A.

Passo 3

Construção de tanalpha. Escolha um ponto auxiliar O e trace a semirreta Ox. Em O trace a semirreta Oy tal que ang<= xOy=90^circ. Sobre Ox marque U de modo que
OU=1
Pelo ponto U faça uma semirreta formando com Ox o ângulo alpha. Essa reta intersecta Oy em T. Então
OT=tanalpha

Passo 4

No mesmo eixo Ox, a partir de O marque V tal que OV=1 e em seguida marque W tal que
VW=OT,
de modo que OW=1+tanalpha. Para dividir S por OW, trace outra semirreta Oz em O e sobre ela marque X com
OX=S
Una W a X. Pelo ponto V trace uma reta paralela a WX até ela intersectar Oz em Y. Pelas razões de semelhança,
OY=OXOW=S1+tanalpha,
logo OY é exatamente o comprimento de AC.

Passo 5

Leve para o triângulo: em A trace duas semirretas que formem ang<= A=alpha. Num desses raios marque C de modo que
AC=OY=S1+tanalpha
Pelo ponto C trace a reta perpendicular a AC. Essa reta intersecta o outro raio em B. O triângulo ABC obtido satisfaz
ang<= C=90^circ, ang<= A=alpha e
AC+BC =AC+ACtanalpha =S1+tanalphal(1+tanalphar) =S

Resposta

A construção acima fornece o triângulo ABC retângulo em C, com ang<= A=alpha e AC+BC=S.

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