Exercício 20 Construir um triângulo retângulo conhecendo-se um ângulo agudo e a soma dos dois catetos.
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos construir o triângulo
retângulo em
de modo que
(dado) e a soma dos catetos satisfaça
Vamos usar trigonometria para expressar
em função de
e
e depois executar construções elementares de soma, tangente e divisão de segmentos.
Passo 2
Num triângulo retângulo com ângulo reto em
e
, o cateto oposto a
é
e o adjacente é
. Logo,
Substituindo
vem
e então
. Basta, portanto, construir o segmento de comprimento
e em seguida erguer a perpendicular em
num ângulo
em
.
Passo 3
Construção de
. Escolha um ponto auxiliar
e trace a semirreta
. Em
trace a semirreta
tal que
. Sobre
marque
de modo que
Pelo ponto
faça uma semirreta formando com
o ângulo
. Essa reta intersecta
em
. Então
Passo 4
No mesmo eixo
, a partir de
marque
tal que
e em seguida marque
tal que
de modo que
. Para dividir
por
, trace outra semirreta
em
e sobre ela marque
com
Una
a
. Pelo ponto
trace uma reta paralela a
até ela intersectar
em
. Pelas razões de semelhança,
logo
é exatamente o comprimento de
.
Passo 5
Leve para o triângulo: em
trace duas semirretas que formem
. Num desses raios marque
de modo que
Pelo ponto
trace a reta perpendicular a
. Essa reta intersecta o outro raio em
. O triângulo
obtido satisfaz
,
e
Resposta
A construção acima fornece o triângulo
retângulo em
, com
e
.