Exercício 3 Dados dois pontos A e B numa reta r determinar um ponto da reta que diste igualmente de A e B. Discutir.

Passo 1

Temos dois pontos A e B em uma reta r e queremos encontrar todos os pontos Pin r tais que
dist(P,A)=dist(P,B).
O conteúdo é usar coordenadas paramétricas na reta e resolver uma equação de valor absoluto.

Passo 2

Escolha um ponto base Oin r e um vetor diretor vec vneqvec 0. Então qualquer ponto Pin r pode ser escrito como
P(t)=O+tvec v
Sejam tA e tB os valores de parâmetro tais que A=P(tA) e B=P(tB).

Passo 3

Na reta, a distância de P(t) a A e a B é
dist(P(t),A)=lvert t-tArvert,|vec v|, dist(P(t),B)=lvert t-tBrvert,|vec v|
Impor dist(P(t),A)=dist(P(t),B) equivale a
lvert t-tArvert = lvert t-tBrvert

Passo 4

A equação lvert t-tArvert=lvert t-tBrvert gera duas hipóteses:
t - tA = t - tB ou t - tA = -(t - tB)
Na primeira hipótese obtém-se tA = tB, ou seja A=B.
Na segunda,
t - tA = -t + tB Longrightarrow 2t = tA + tB Longrightarrow t = tA + tB2

Passo 5

  • Se Aneq B então tAneq tB e a única solução é t = tA + tB2, que corresponde ao ponto médio M de AB.
  • Se A = B então tA = tB e qualquer t satisfaz a condição, pois dist(P,A)=dist(P,B)=0.

Resposta

Se Aneq B, o único ponto de r equidistante de A e B é o ponto médio M de AB.
Se A=B, todos os pontos de r satisfazem dist(P,A)=dist(P,B).

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