\lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt[3]{3 x+5}-2}{x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to1}\frac{\sqrt[3]{3x+5}-2}{x}.
O conteúdo envolvido é limite de função composta e quociente. Vamos usar a continuidade da função \sqrt[3]{\,\cdot\,} e a propriedade de limites de soma, diferença e quociente.

Passo 2

Como a função g(u)=\sqrt[3]{u} é contínua, temos
\lim_{x\to1}\sqrt[3]{3x+5} =\sqrt[3]{\lim_{x\to1}(3x+5)} =\sqrt[3]{3\cdot1+5} =\sqrt[3]{8} =2.
Logo o numerador tende a
2-2=0.

Passo 3

O denominador x é contínuo e não se anula em x=1, então
\lim_{x\to1}x=1.

Passo 4

Pelo limite de quociente, como o limite do numerador é 0 e o do denominador é 1, concluímos
\lim_{x\to1}\frac{\sqrt[3]{3x+5}-2}{x} =\frac{0}{1} =0.

Resposta

0

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