Exercício 21. Em uma população,
dos homens e
das mulheres tem mais de
de altura, nessa população
das pessoas são mulheres. Uma pessoa é escolhida ao acaso e verifica-se que ela possui mais de
, encontre a probabilidade que a pessoa seja um homem.
Passo 1
O enunciado pede: dado que uma pessoa escolhida aleatoriamente tem mais de
, qual é a probabilidade dessa pessoa ser um homem?
Informações fornecidas (peguei esses números do enunciado):
-
Ou seja, . -
Ou seja, . -
Ou seja, . -
Ou seja, .
O que se quer encontrar é a probabilidade condicional
, onde
= “ser homem” e
= "ter mais de
".
Passo 2
Conceito essencial: probabilidade condicional e Teorema de Bayes (explicação didática).
- Probabilidade condicional
é a probabilidade de ocorrer sabendo que ocorreu. A definição é
Aqui queremos
.
- Teorema de Bayes nos dá uma forma prática para inverter condicionais usando probabilidades diretas:
Cada termo significa:
-
: probabilidade de ser alto dado que é homem (informação do enunciado). -
: probabilidade a priori de ser homem na população. -
: probabilidade total de escolher alguém alto (qualquer gênero). -
Para calcular
usamos a Lei da Probabilidade Total (porque os gêneros particionam a população):
Isso soma a contribuição de homens altos e mulheres altas para a probabilidade total de ser alto.
Passo 3
Converter percentuais em probabilidades (já coloquei na Passo 1, repito os valores em forma decimal para calcular):
Calcular
pela Lei da Probabilidade Total:
Fazendo as multiplicações passo a passo:
Somando:
Passo 4
Calcular o numerador do Teorema de Bayes e montar a razão:
Portanto a fração que define
é
Simplificando essa fração:
Em forma decimal e percentual isso corresponde a aproximadamente
ou
.