Exercício 21. Em uma população, 4 \% dos homens e 1 \% das mulheres tem mais de 1.80 m de altura, nessa população 60 \% das pessoas são mulheres. Uma pessoa é escolhida ao acaso e verifica-se que ela possui mais de 1.80 m, encontre a probabilidade que a pessoa seja um homem.

Passo 1

O enunciado pede: dado que uma pessoa escolhida aleatoriamente tem mais de 1,80\\ \text{m}, qual é a probabilidade dessa pessoa ser um homem?
Informações fornecidas (peguei esses números do enunciado):
  • P(\text{homem}) = 40\%. Ou seja, P(M)=0,4.
  • P(\text{mulher}) = 60\%. Ou seja, P(W)=0,6.
  • P(\text{mais de }1,80\text{ m}\mid \text{homem}) = 4\%. Ou seja, P(T\mid M)=0,04.
  • P(\text{mais de }1,80\text{ m}\mid \text{mulher}) = 1\%. Ou seja, P(T\mid W)=0,01.
O que se quer encontrar é a probabilidade condicional P(M\mid T), onde M = “ser homem” e T = "ter mais de 1,80\\ \text{m}".

Passo 2

Conceito essencial: probabilidade condicional e Teorema de Bayes (explicação didática).
  • Probabilidade condicional P(A\mid B) é a probabilidade de ocorrer A sabendo que B ocorreu. A definição é
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Aqui queremos P(M\mid T).
  • Teorema de Bayes nos dá uma forma prática para inverter condicionais usando probabilidades diretas:
P(M\mid T)=\frac{P(T\mid M)\,P(M)}{P(T)}.
Cada termo significa:
  • P(T\mid M): probabilidade de ser alto dado que é homem (informação do enunciado).
  • P(M): probabilidade a priori de ser homem na população.
  • P(T): probabilidade total de escolher alguém alto (qualquer gênero).
  • Para calcular P(T) usamos a Lei da Probabilidade Total (porque os gêneros particionam a população):
P(T)=P(T\mid M)P(M)+P(T\mid W)P(W).
Isso soma a contribuição de homens altos e mulheres altas para a probabilidade total de ser alto.

Passo 3

Converter percentuais em probabilidades (já coloquei na Passo 1, repito os valores em forma decimal para calcular):
P(M)=0,4,\quad P(W)=0,6,\quad P(T\mid M)=0,04,\quad P(T\mid W)=0,01.
Calcular P(T) pela Lei da Probabilidade Total:
P(T)=0,04\cdot 0,4 + 0,01\cdot 0,6.
Fazendo as multiplicações passo a passo:
0,04\cdot 0,4 = 0,016,
0,01\cdot 0,6 = 0,006.
Somando:
P(T)=0,016+0,006=0,022.

Passo 4

Calcular o numerador do Teorema de Bayes e montar a razão:
P(T\mid M)P(M)=0,04\cdot0,4=0,016.
Portanto a fração que define P(M\mid T) é
\frac{0,016}{0,022}.
Simplificando essa fração:
\frac{0,016}{0,022}=\frac{16}{22}=\frac{8}{11}.
Em forma decimal e percentual isso corresponde a aproximadamente 0,72727\ldots ou 72,727\ldots\%.

Resposta

\dfrac{8}{11}\approx0,72727\ldots=72,727\ldots\%

Exercícios relacionados