Qual é o raio de convergência da série sumn=0^infty (3 n)!(n!)^3 x^n ?
a. 3 !
b. 13^3
C. 3
d. 13
e. 3^3

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência da série
sumn=0^infty(3n)!(n!)^3x^n
Para encontrar o raio usamos o critério da razão em séries de potências.

Passo 2

Defina
an = (3n)!(n!)^3
O critério da razão diz que devemos calcular
L = limntoinfty|an+1,x^,n+1an,x^,n|
e exigir L<1.

Passo 3

Primeiro simplificamos
an+1an = (3(n+1))!((n+1)!)^3;(n!)^3(3n)! = (3n+1)(3n+2)(3n+3)(n+1)^3

Passo 4

Logo
|an+1,x^,n+1an,x^,n| = (3n+1)(3n+2)(3n+3)(n+1)^3;|x|
Quando ntoinfty, o quociente de polinômios em n tende a 27. Portanto
L=limntoinfty|an+1x^n+1anx^n| =27,|x|

Passo 5

Pelo critério da razão a série converge se
27,|x|<1 Longrightarrow |x|<127
Assim, o raio de convergência é
R = 127 = 13^3

Resposta

b. 13^3.

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