Exercício 19 (Retas no espaço) Considere-se um sistema de coordenadas ortonormais ( ). Considerem-se os pontos .
19.3 Determinar uma equação do plano .
Passo 1
O enunciado pede a equação do plano que passa pelos pontos , e . Estamos em coordenadas ortonormais, então podemos usar dois vetores diretores do plano para obter o vetor normal via produto vetorial e depois escrever a equação cartesiana do plano.
Passo 2
Escolhemos os vetores e AC como vetores diretores do plano:
AB = B - A = (1,3,0) - (0,4,1) = (1,-1,-1),
AC = C - A = (2,-1,-2) - (0,4,1) = (2,-5,-3)
Passo 3
O vetor normal n ao plano é dado pelo produto vetorial
n = ABtimesAC
Calculando componente a componente:
n = i & j & k 1 & -1 & -1 2 & -5 & -3 = il((-1)(-3)-(-1)(-5)r) - jl(1cdot(-3)-(-1)cdot2r) + kl(1cdot(-5)-(-1)cdot2r)
Isso dá
n = lang<= -2,;1,;-3rang<=
Passo 4
A equação de um plano com normal n=(a,b,c) passando por A(x0,y0,z0) é
a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0
Aqui a=-2, b=1, c=-3 e (x0,y0,z0)=(0,4,1). Substituindo: