Exercício 19 (Retas no espaço) Considere-se um sistema de coordenadas ortonormais ( O, imath, jmath, k ). Considerem-se os pontos A(0 ; 4 ; 1), B(1 ; 3 ; 0), C(2 ;-1 ;-2), D(7 ;-1 ; 4).
19.3 Determinar uma equação do plano (A B C).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que passa pelos pontos A(0,4,1), B(1,3,0) e C(2,-1,-2). Estamos em coordenadas ortonormais, então podemos usar dois vetores diretores do plano para obter o vetor normal via produto vetorial e depois escrever a equação cartesiana do plano.

Passo 2

Escolhemos os vetores AB e AC como vetores diretores do plano:
AB = B - A = (1,3,0) - (0,4,1) = (1,-1,-1),
AC = C - A = (2,-1,-2) - (0,4,1) = (2,-5,-3)

Passo 3

O vetor normal n ao plano é dado pelo produto vetorial
n = ABtimesAC
Calculando componente a componente:
n = i & j & k 1 & -1 & -1 2 & -5 & -3 = il((-1)(-3)-(-1)(-5)r) - jl(1cdot(-3)-(-1)cdot2r) + kl(1cdot(-5)-(-1)cdot2r)
Isso dá
n = lang<= -2,;1,;-3rang<=

Passo 4

A equação de um plano com normal n=(a,b,c) passando por A(x0,y0,z0) é
a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0
Aqui a=-2, b=1, c=-3 e (x0,y0,z0)=(0,4,1). Substituindo:
-2(x-0)+1(y-4)-3(z-1)=0 Longrightarrow -2x+y-4-3z+3=0 Longrightarrow -2x+y-3z-1=0
Multiplicando por -1 para simplificar:
2x - y + 3z + 1 = 0

Resposta

A equação do plano (ABC) é
2x - y + 3z + 1 = 0

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