Exercício 27 (Equações de planos e de retas) Considere-se o espaço tridimensional munido de um sistema ortonormal (O ; imath, jmath, k) de coordenadas cartesianas.
27.2 Determinar uma representação paramétrica do plano (Q) com equação cartesiana (Q): x+2 y-z-3=0.

Passo 1

O enunciado pede uma representação paramétrica do plano (Q) de equação cartesiana
x + 2y - z - 3 = 0
Estamos em geometria analítica no espaço e vamos usar que todo plano pode ser escrito como
vec r = vec r0 + s,vec u + t,vec v, onde vec r0 é um ponto particular no plano e vec u,vec v são vetores diretores do plano (ortogonais ao vetor normal).

Passo 2

Para achar um ponto particular vec r0 em (Q), basta atribuir valores fáceis a y e z. Se tomarmos y=0 e z=0, a equação do plano vira
x + 2cdot 0 - 0 - 3 = 0 Longrightarrow x = 3
Logo podemos escolher vec r0 = (3,0,0).

Passo 3

O vetor normal ao plano é vec n = (1,2,-1). Vetores diretores do plano devem satisfazer vec ncdotvec v=0. Por exemplo, tomando
vec u = (-2,1,0) e vec v = (1,0,1), temos
vec ncdotvec u = 1cdot(-2)+2cdot1+(-1)cdot0 = 0, vec ncdotvec v = 1cdot1+2cdot0+(-1)cdot1 = 0,
logo ambos estão no plano.

Passo 4

Agora escrevemos a forma paramétrica genérica:
vec r(s,t) = (3,0,0) + s,(-2,1,0) + t,(1,0,1), s,tinR
Separando em coordenadas,
x = 3 - 2s + t, y = s, z = t, s,tinR

Resposta

Uma representação paramétrica do plano (Q) é
(x,y,z) = (3,0,0) + s,(-2,1,0) + t,(1,0,1), s,tinR

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