Exercício 25 (Retas e planos no espaço) Considere-se o espaço munido de um sistema ortonormal (O ; imath, jmath, k) de coordenadas cartesianas. Considerem-se os pontos A(-1 ; 2 ; 0), B(1 ; 2 ; 4), C(-1 ; 1 ; 1).
25.2 Considere-se o vetor n=(2,-1,-1). Mostrar que o vetor n é normal ao plano ( A B C ). Determinar uma equação geral (equação cartesiana) do plano ( A B C ).

Passo 1

O enunciado dá no espaço ortonormal os pontos A(-1,2,0), B(1,2,4), C(-1,1,1) e o vetor vec n=(2,-1,-1). Precisamos mostrar que vec n é normal ao plano (ABC) e, em seguida, obter uma equação geral (cartesiana) para esse plano.

Passo 2

Para provar que vec n é normal ao plano, basta verificar que ele é ortogonal a dois vetores não colineares pertencentes ao plano, por exemplo AB e AC. Calculamos
AB = B - A = (1-(-1),,2-2,,4-0) = (2,0,4)
AC = C - A = (-1-(-1),,1-2,,1-0) = (0,-1,1).
Agora os produtos internos:
vec ncdotAB = (2,-1,-1)cdot(2,0,4) = 2cdot2 + (-1)cdot0 + (-1)cdot4 = 4 - 4 = 0,
vec ncdotAC = (2,-1,-1)cdot(0,-1,1) = 2cdot0 + (-1)cdot(-1) + (-1)cdot1 = 1 - 1 = 0
Como vec n é ortogonal a dois geradores do plano, concluímos que ele é normal ao plano (ABC).

Passo 3

Uma equação cartesiana de um plano com vetor normal vec n=(a,b,c) que passa por um ponto P0(x0,y0,z0) é
a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0
Aqui a=2, b=-1, c=-1 e podemos usar P0=A(-1,2,0). Logo
2,(x+1) - 1,(y-2) - 1,(z-0) = 0
Expandindo:
2x + 2 - y + 2 - z = 0 Longrightarrow 2x - y - z + 4 = 0

Resposta

A equação geral do plano (ABC) é
2x - y - z + 4 = 0

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