Exercício 20 (Verdadeiro ou Falso) Considere-se um sistema de coordenadas ortonormais ( ). Considerem-se os pontos ; considere-se o plano . Determinar, com a devida justificativa, se cada uma das proposições seguintes é verdadeira ou falsa.
20.4 A reta é estritamente paralela à reta com representações paramétricas .
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a reta é estritamente paralela à reta dada por
Aqui o conteúdo é geometria analítica no espaço: para isso precisamos
encontrar o vetor diretor de cada reta,
ver se esses vetores são proporcionais (paralelismo),
verificar se elas coincidem ou são distintas (estritamente paralelas).
Passo 2
Calcular o vetor diretor de . Como e , temos
Passo 3
O vetor diretor de (R) é simplesmente o coeficiente de k, ou seja
vR =(-3,;1,;5)
Passo 4
Comparando, vemos que
AB=(-3,1,5)e vR =(-3,1,5),
logo são proporcionais (na verdade idênticos), o que implica que as retas são paralelas ou coincidentes.
Passo 5
Para decidir se são coincidentes (o que impediria serem “estritamente” paralelas), basta verificar se um ponto de (AB), por exemplo A(2,1,-1), está em (R). Procuramos k tal que
(-4-3k,;3+k,;9+5k) = (2,1,-1)
Da primeira coordenada -4-3k=2 vem k=-2. Substituindo em
3+(-2)=1, 9+5(-2)=-1,
confirma-se que A pertence a (R).
Passo 6
Como (AB) e (R) têm o mesmo vetor diretor e compartilham o ponto A, elas coincidem. Portanto não são apenas paralelas, e sim a mesma reta.