Exercício 20 (Verdadeiro ou Falso) Considere-se um sistema de coordenadas ortonormais ( O, imath, jmath, k ). Considerem-se os pontos A(2 ; 1 ;-1), B(-1 ; 2 ; 4), C(0 ;-2 ; 3), D(1 ; 1 ;-2); considere-se o plano (P): x-2 y+z=-1. Determinar, com a devida justificativa, se cada uma das proposições seguintes é verdadeira ou falsa.
20.4 A reta (A B) é estritamente paralela à reta com representações paramétricas (R):(x, y, z)=(-4-3 k, 3+k, 9+5 k),(k in R).

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a reta (AB) é estritamente paralela à reta (R) dada por
(x,y,z)=(-4-3k,;3+k,;9+5k), kinR
Aqui o conteúdo é geometria analítica no espaço: para isso precisamos
  1. encontrar o vetor diretor de cada reta,
  2. ver se esses vetores são proporcionais (paralelismo),
  3. verificar se elas coincidem ou são distintas (estritamente paralelas).

Passo 2

Calcular o vetor diretor de (AB). Como A(2,1,-1) e B(-1,2,4), temos
AB=B - A =(-1-2,;2-1,;4-(-1)) =(-3,;1,;5)

Passo 3

O vetor diretor de (R) é simplesmente o coeficiente de k, ou seja
vR =(-3,;1,;5)

Passo 4

Comparando, vemos que
AB=(-3,1,5)e vR =(-3,1,5),
logo são proporcionais (na verdade idênticos), o que implica que as retas são paralelas ou coincidentes.

Passo 5

Para decidir se são coincidentes (o que impediria serem “estritamente” paralelas), basta verificar se um ponto de (AB), por exemplo A(2,1,-1), está em (R). Procuramos k tal que
(-4-3k,;3+k,;9+5k) = (2,1,-1)
Da primeira coordenada -4-3k=2 vem k=-2. Substituindo em
3+(-2)=1, 9+5(-2)=-1,
confirma-se que A pertence a (R).

Passo 6

Como (AB) e (R) têm o mesmo vetor diretor e compartilham o ponto A, elas coincidem. Portanto não são apenas paralelas, e sim a mesma reta.

Resposta

Falso.

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