Exercício 21 (Cubo) Considere-se um cubo de aresta unitária; considere-se um sistema ortonormal de coordenadas cartesianas .
21.5 Mostrar que o triângulo triang<= B E G é equilátero. Determinar a área do triângulo triang<= B E G.
Passo 1
O enunciado define um cubo de aresta unitária com vértices A,B,C,D,E,F,G,H e sistema de coordenadas (A;AB,AD,AE). Pede-se para mostrar que triang<= BEG é equilátero e determinar sua área. Vamos usar geometria analítica no espaço, atribuindo coordenadas aos vértices e calculando distâncias.
Passo 2
No sistema dado temos
A=(0,0,0), B=(1,0,0), E=(0,0,1), G=(1,1,1)
Passo 3
Calculamos as distâncias entre os vértices de triang<= BEG:
BE=raiz(1-0)^2+(0-0)^2+(0-1)^2=raiz2,
EG=raiz(1-0)^2+(1-0)^2+(1-1)^2=raiz2,
BG=raiz(1-1)^2+(1-0)^2+(1-0)^2=raiz2
Como BE=EG=BG=raiz2, o triângulo é equilátero de lado raiz2.
Passo 4
Para a área de um triângulo equilátero de lado s vale
área=raiz34,s^2 á
Aqui s=raiz2, logo
área=raiz34,(raiz2)^2=raiz32 á
Resposta
O triângulo triang<= BEG é equilátero de lado raiz2 e sua área é raiz32.