Exercício 19 (Retas no espaço) Considere-se um sistema de coordenadas ortonormais (
). Considerem-se os pontos
.
19.6 Sejam os planos
. Mostrar que os planos
e (
) são concorrentes.
19.6 Sejam os planos
Passo 1
O enunciado dá dois planos
e pede para mostrar que eles são concorrentes, isto é, que sua interseção é uma reta. O conteúdo teórico que usamos é que dois planos em não paralelos sempre se cruzam numa reta.
e pede para mostrar que eles são concorrentes, isto é, que sua interseção é uma reta. O conteúdo teórico que usamos é que dois planos em
Passo 2
Calculamos os vetores normais de cada plano:
para ,
;
para ,
.
Se fossem paralelos teríamos para algum
. Isso exigiria
(pela primeira componente) e
(pela segunda), o que é impossível. Logo, os planos não são paralelos.
para
para
Se fossem paralelos teríamos
Passo 3
Como
e
não são paralelos, sua interseção é uma reta. Para encontrá-la, resolvemos o sistema
Passo 4
Da segunda equação vem
Substituindo na primeira:
Tomando
, obtemos a parametrização
Portanto a reta de interseção
é
Resposta
Os planos
e
são concorrentes, pois sua interseção é a reta