Exercício 19 (Retas no espaço) Considere-se um sistema de coordenadas ortonormais ( O, imath, jmath, k ). Considerem-se os pontos A(0 ; 4 ; 1), B(1 ; 3 ; 0), C(2 ;-1 ;-2), D(7 ;-1 ; 4).
19.6 Sejam os planos (P1): x+y+z=0 e(P2): x+4 y+2=0. Mostrar que os planos (P1) e ( P2 ) são concorrentes.

Passo 1

O enunciado dá dois planos
(P1): x+y+z=0
(P2): x+4y+2=0
e pede para mostrar que eles são concorrentes, isto é, que sua interseção é uma reta. O conteúdo teórico que usamos é que dois planos em R^3 não paralelos sempre se cruzam numa reta.

Passo 2

Calculamos os vetores normais de cada plano:
para P1, n1=(1,1,1);
para P2, n2=(1,4,0).
Se fossem paralelos teríamos n2=lambda, n1 para algum lambda. Isso exigiria lambda=1 (pela primeira componente) e lambda=4 (pela segunda), o que é impossível. Logo, os planos não são paralelos.

Passo 3

Como P1 e P2 não são paralelos, sua interseção é uma reta. Para encontrá-la, resolvemos o sistema
x+y+z=0, x+4y+2=0

Passo 4

Da segunda equação vem
x=-4y-2
Substituindo na primeira:
(-4y-2)+y+z=0 Longrightarrow z=3y+2
Tomando y=t, obtemos a parametrização
x=-4t-2, y=t, z=3t+2
Portanto a reta de interseção r é
r:;(x,y,z)=(-2,0,2)+t,(-4,1,3), tin R

Resposta

Os planos (P1) e (P2) são concorrentes, pois sua interseção é a reta
r:;(x,y,z)=(-2,0,2)+t,(-4,1,3), tin R

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