Exercício 34 (Retas e planos associados) Considerem-se as retas com equações paramétricas
(R1):l x=1+1 s y=1+2 s z=-3-1 s (s in R) ; (R2):l x=0+2 t y=-4+1 t z=2+3 t (t in R)
34.1 Mostrar que as retas (R1) e (R2) não são paralelas.

Passo 1

O enunciado dá as retas
(R1): x=1+s, y=1+2s, z=-3-s (sinR) e (R2): x=2t, y=-4+t, z=2+3t (tinR)
e pede para mostrar que elas não são paralelas. O conteúdo aqui é o critério de paralelismo de retas no espaço: duas retas são paralelas se, e somente se, seus vetores direcionais forem colineares (múltiplos escalares um do outro).

Passo 2

Extraímos os vetores direcionais de cada reta. Para (R1) o vetor é
v1 = (1,,2,,-1),
e para (R2) o vetor é
v2 = (2,,1,,3)

Passo 3

Verificamos se existe lambdainR tal que v1 = lambda v2. Das componentes temos:
lambdacdot 2 = 1 implica lambda = tfrac12,
enquanto lambdacdot 1 = 2 implicaria lambda = 2.
Como tfrac12neq 2, não há escalar lambda que satisfaça todas as três igualdades simultaneamente, logo v1 e v2 não são colineares.

Passo 4

Como os vetores direcionais não são múltiplos escalares, concluímos que as retas (R1) e (R2) não são paralelas.

Resposta

As retas (R1) e (R2) não são paralelas.

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