Exercício 21 (Cubo) Considere-se um cubo A B C D E F G H de aresta unitária; considere-se um sistema ortonormal de coordenadas cartesianas (A ; A B, A D, A E).
21.3 Mostrar que a reta ( F D ) é perpendicular ao plano ( B G E ).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a reta (FD) é perpendicular ao plano (BGE) num cubo de aresta unitária. Vamos usar coordenadas no sistema de base ortonormal (AB,AD,AE) e o produto escalar para verificar ortogonalidade.

Passo 2

No sistema dado, escolhemos as coordenadas:
A=(0,0,0), B=(1,0,0), D=(0,1,0), E=(0,0,1), F=(1,0,1), G=(1,1,1)

Passo 3

O vetor diretor de (FD) é
FD=D-F=(0,1,0)-(1,0,1)=(-1,1,-1)

Passo 4

Dois vetores no plano (BGE) são
BG=G-B=(1,1,1)-(1,0,0)=(0,1,1),
BE=E-B=(0,0,1)-(1,0,0)=(-1,0,1)

Passo 5

Calculamos os produtos escalares:
FDcdotBG=(-1,1,-1)cdot(0,1,1)=1-1=0,
FDcdotBE=(-1,1,-1)cdot(-1,0,1)=1-1=0
Como FD é ortogonal a dois vetores independentes do plano, concluímos que a reta (FD) é perpendicular ao plano (BGE).

Resposta

A reta (FD) é perpendicular ao plano (BGE).

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