Exercício 20 (Verdadeiro ou Falso) Considere-se um sistema de coordenadas ortonormais ( O, imath, jmath, k ). Considerem-se os pontos A(2 ; 1 ;-1), B(-1 ; 2 ; 4), C(0 ;-2 ; 3), D(1 ; 1 ;-2); considere-se o plano (P): x-2 y+z=-1. Determinar, com a devida justificativa, se cada uma das proposições seguintes é verdadeira ou falsa.
20.2 As retas (A B) e (C D) são ortogonais entre si.

Passo 1

O enunciado fornece os pontos A(2,1,-1), B(-1,2,4), C(0,-2,3) e D(1,1,-2) e pergunta se as retas (AB) e (CD) são ortogonais. No espaço, duas retas são ortogonais se, e somente se, os seus vetores diretores são ortogonais, ou seja, possuem produto escalar igual a zero.

Passo 2

Calculamos o vetor diretor de (AB) como
AB = B - A = (-1-2,;2-1,;4-(-1)) = (-3,;1,;5)

Passo 3

Calculamos o vetor diretor de (CD) como
CD = D - C = (1-0,;1-(-2),;-2-3) = (1,;3,;-5)

Passo 4

Para verificar ortogonalidade, fazemos o produto escalar:
ABcdot CD = (-3)cdot1 + 1cdot3 + 5cdot(-5) = -3 + 3 - 25 = -25 neq 0
Como o produto escalar não é zero, os vetores diretores não são ortogonais e, portanto, as retas também não são.

Resposta

Falso.

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