Exercício 32 (Distância de ponto a plano e de ponto a reta) Calcular as distâncias indicadas.
32.2 Calcular a distância do ponto M(0 ; 2 ; 4) à reta com representação na forma de um sistema
(P):l x=1+2 s+1 t y=s+t z=2+s+t (s, t in R)
(R): x+y-3 z & =-1 2 x+y-5 z & =0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: a distância do ponto
e a distância do mesmo ponto à reta definida pela interseção dos planos
O conteúdo é geometria analítica no (\mathbb R^3]. Vamos usar vetores diretores, produto vetorial, norma de vetores e as fórmulas

Passo 2

Para o plano P extraímos dois vetores diretores e um ponto:
vec v1=(2,1,1), vec v2=(1,1,1), A=(1,0,2)
O vetor normal é
vec n=vec v1timesvec v2 = i& j& k 2&1&1 1&1&1 =(0,-1,1)

Passo 3

Calculamos AM=M-A=(0-1,,2-0,,4-2)=(-1,2,2) e o produto escalar
vec ncdotAM =(0)(-1)+(-1)(2)+(1)(2)=0
Logo
dl(M,Pr) =l|vec ncdotAMr||vec n| =0raiz0^2+(-1)^2+1^2=0

Passo 4

Para a reta
Subtraindo a primeira da segunda vem . Tomando obtemos a parámetra:
de modo que um ponto é e o vetor diretor
.

Passo 5

Calculamos BM=M-B=(0-1,,2-(-2),,4-0)=(-1,4,4).
O produto vetorial é
BMtimesvec d = i& j& k -1&4&4 2&1&1 =(0,9,-9),
cuja norma é raiz0^2+9^2+(-9)^2=9raiz2. Além disso |vec d|=raiz2^2+1^2+1^2=raiz6.
Portanto
dl(M,Rr) =9raiz2raiz6 =9raiztfrac26 =9raiztfrac13 =3raiz3

Resposta

Distância de M ao plano P: 0.
Distância de M à reta R: 3raiz3.

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