Exercício 19 - Seja S a superfície do \mathbb{R}^{3} dada pela equação de segundo grau
25 x^{2}+y^{2}+25 z^{2}=25
(a) Determine os pontos de interseção da superfície S com os eixos coordenados, caso existam.
(b) Determine e esboce os traços da superfície S nos planos coordenados, caso existam.
(c) Determine e esboce os traços da superfície S nos planos y=k, k \in \mathbb{R}, caso existam.
(d) Use os itens anteriores para apresentar um esboço de $S.

Passo 1

O enunciado define a superfície
25x^{2}+y^{2}+25z^{2}=25
em \mathbb{R}^{3}. Esse é o caso de um elipsoide central, com eixos alinhados aos eixos coordenados. Para resolver, vamos:
  1. Encontrar interseções com os eixos (definindo as outras coordenadas nulas).
  2. Determinar traços nos planos x=0, y=0 e z=0.
  3. Determinar traços nos planos horizontais y=k.
  4. Usar tudo isso para esboçar o elipsoide.

Passo 2

Interseções com os eixos coordenados obtêm-se aninhando duas coordenadas em zero:
  • Eixo x: y=0, z=0 25x^{2}=25, logo x=\pm1. Ponto (\pm1,0,0).
  • Eixo y: x=0, z=0 y^{2}=25, logo y=\pm5. Ponto (0,\pm5,0).
  • Eixo z: x=0, y=0 25z^{2}=25, logo z=\pm1. Ponto (0,0,\pm1).

Passo 3

Traços nos planos coordenados:
  • Plano x=0: na equação sobra
y^{2}+25z^{2}=25,
ou seja, a elipse \displaystyle \frac{y^{2}}{25}+\frac{z^{2}}{1}=1.
  • Plano y=0: sobra
25x^{2}+25z^{2}=25 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+z^{2}=1,
que é um círculo de raio 1 no plano x\!z.
  • Plano z=0: sobra
25x^{2}+y^{2}=25,
ou seja, a elipse \displaystyle \frac{x^{2}}{1}+\frac{y^{2}}{25}=1.

Passo 4

Traços nos planos y=k: fixando y=k na equação geral,
25x^{2}+k^{2}+25z^{2}=25 \quad\Longrightarrow\quad 25x^{2}+25z^{2}=25-k^{2}.
Se \lvert k\rvert\le5, divide-se por 25 e obtém-se
x^{2}+z^{2}=1-\frac{k^{2}}{25},
que é um círculo de raio \sqrt{1 - k^{2}/25}. Se \lvert k\rvert>5, não há pontos (lado direito negativo).

Passo 5

Esboço de S:
  • É um elipsoide centrado na origem.
  • Semi-eixo ao longo de x e de z vale 1.
  • Semi-eixo ao longo de y vale 5.
  • Nos cortes horizontais (constant y), temos círculos cuja área diminui até desaparecer em \lvert y\rvert=5.

Resposta

(a) Interseções em (\pm1,0,0), (0,\pm5,0) e (0,0,\pm1).
(b) Traço em x=0: \displaystyle \frac{y^{2}}{25}+\frac{z^{2}}{1}=1; em y=0: x^{2}+z^{2}=1; em z=0: \displaystyle \frac{x^{2}}{1}+\frac{y^{2}}{25}=1.
(c) Em y=k com \lvert k\rvert\le5: círculo \displaystyle x^{2}+z^{2}=1-\tfrac{k^{2}}{25}; para \lvert k\rvert>5: vazio.
(d) S é um elipsoide de semi-eixos 1 (eixos x e z) e 5 (eixo y), centrado na origem.

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