Exercício 19 - Seja
a superfície do
dada pela equação de segundo grau
(a) Determine os pontos de interseção da superfície
com os eixos coordenados, caso existam.
(b) Determine e esboce os traços da superfície
nos planos coordenados, caso existam.
(c) Determine e esboce os traços da superfície
nos planos
, caso existam.
(d) Use os itens anteriores para apresentar um esboço de $S.
(b) Determine e esboce os traços da superfície
(c) Determine e esboce os traços da superfície
(d) Use os itens anteriores para apresentar um esboço de $S.
Passo 1
O enunciado define a superfície
em
. Esse é o caso de um elipsoide central, com eixos alinhados aos eixos coordenados. Para resolver, vamos:
- Encontrar interseções com os eixos (definindo as outras coordenadas nulas).
- Determinar traços nos planos
, e . - Determinar traços nos planos horizontais
. - Usar tudo isso para esboçar o elipsoide.
Passo 2
Interseções com os eixos coordenados obtêm-se aninhando duas coordenadas em zero:
- Eixo
: , dá , logo . Ponto . - Eixo
: , dá , logo . Ponto . - Eixo
: , dá , logo . Ponto .
Passo 3
Traços nos planos coordenados:
- Plano
: na equação sobra
ou seja, a elipse
.
- Plano
: sobra
que é um círculo de raio
no plano
.
- Plano
: sobra
ou seja, a elipse
.
Passo 4
Traços nos planos
: fixando
na equação geral,
Se
, divide-se por 25 e obtém-se
que é um círculo de raio
. Se
, não há pontos (lado direito negativo).
Passo 5
Esboço de
:
- É um elipsoide centrado na origem.
- Semi-eixo ao longo de
e de vale . - Semi-eixo ao longo de
vale . - Nos cortes horizontais (constant
), temos círculos cuja área diminui até desaparecer em .
Resposta
(a) Interseções em
,
e
.
(b) Traço em :
; em
:
; em
:
.
(c) Em com
: círculo
; para
: vazio.
(d) é um elipsoide de semi-eixos
(eixos
e
) e
(eixo
), centrado na origem.
(b) Traço em
(c) Em
(d)