Questão 1) Calcule o comprimento do gráfico da função f(x)=x^{2} no intervalo [-1,1].

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do arco do gráfico de f(x)=x^2 no intervalo [-1,1]. O conteúdo é comprimento de curva, e vamos usar a fórmula do comprimento de arco para funções da forma y=f(x).

Passo 2

A fórmula geral do comprimento de arco de y=f(x) de x=a até x=b é
L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\;dx.
Aqui f'(x)=2x, então
L = \int_{-1}^{1} \sqrt{1 + (2x)^{2}}\;dx = \int_{-1}^{1} \sqrt{1 + 4x^{2}}\;dx.

Passo 3

A função x\mapsto \sqrt{1+4x^{2}} é par, então podemos usar simetria:
L = 2 \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 4x^{2}}\;dx.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int \sqrt{1 + 4x^{2}}\;dx, fazemos a substituição u=2x, du=2\,dx, dx = \tfrac{du}{2}. Então
\int \sqrt{1 + 4x^{2}}\;dx = \frac{1}{2}\int \sqrt{1 + u^{2}}\;du.
Usando a antiderivada conhecida
\int \sqrt{1+u^{2}}\;du = \frac{u}{2}\sqrt{1+u^{2}} + \frac{1}{2}\ln\bigl(u + \sqrt{1+u^{2}}\bigr) + C,
obtemos
\int \sqrt{1 + 4x^{2}}\;dx = \frac{x}{2}\sqrt{1+4x^{2}} + \frac{1}{4}\ln\bigl(2x + \sqrt{1+4x^{2}}\bigr) + C.

Passo 5

Agora avaliamos de 0 a 1:
\int_{0}^{1} \sqrt{1 + 4x^{2}}\;dx = \left[\frac{x}{2}\sqrt{1+4x^{2}} + \frac{1}{4}\ln\bigl(2x + \sqrt{1+4x^{2}}\bigr)\right]_{0}^{1}.
Em x=1 \tfrac{1}{2}\sqrt{5} + \tfrac{1}{4}\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr). Em x=0 0 + \tfrac{1}{4}\ln(1)=0. Logo
\int_{0}^{1} \sqrt{1 + 4x^{2}}\;dx = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{4}\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr).
Multiplicando por 2 (passo da simetria),
L = 2\left(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{4}\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr)\right) = \sqrt{5} + \frac{1}{2}\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr).

Resposta

L = \sqrt{5} + \frac{1}{2}\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr).

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