Questão 5) Calcule a área do seguinte conjunto A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x>0 \wedge \frac{1}{x^{2}} \leqslant y \leqslant 5-4 x^{2}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede a área do conjunto
A = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x>0 \text{ e } \tfrac{1}{x^2}\le y\le 5-4x^2\}.
O conteúdo aqui é cálculo de área via integral simples (integral de uma função de x). Vamos encontrar o intervalo de x onde existe região entre as curvas e depois integrar a diferença superior menos inferior.

Passo 2

Determinar para quais x>0 vale
\tfrac{1}{x^2}\le 5-4x^2.
Multiplicando por x^2>0 obtemos
1 \le 5x^2 - 4x^4 \quad\Longleftrightarrow\quad 4x^4 - 5x^2 +1 \le 0.
Fazendo t=x^2, fica 4t^2-5t+1\le0, cujas raízes são t=\tfrac14 e t=1. Logo t\in[\tfrac14,1], isto é,
x^2\in\bigl[\tfrac14,1\bigr] \quad\Longrightarrow\quad x\in\bigl[\tfrac12,1\bigr].

Passo 3

Assim a área de A é
\text{Área} = \int_{x=\tfrac12}^{1}\Bigl[\bigl(5-4x^2\bigr)-\tfrac{1}{x^2}\Bigr]\,dx.Á

Passo 4

Calcular as duas integrais separadamente:
\int\bigl(5-4x^2\bigr)\,dx =5x - \tfrac{4}{3}x^3,
\int\tfrac{1}{x^2}\,dx =\int x^{-2}\,dx =-x^{-1}.
Avaliar ambas de x=\tfrac12 a x=1
\int_{\tfrac12}^{1}(5-4x^2)\,dx =\Bigl(5x-\tfrac{4}{3}x^3\Bigr)\Big|_{\tfrac12}^{1} =\frac{4}{3},
\int_{\tfrac12}^{1}\frac{1}{x^2}\,dx =\bigl[-x^{-1}\bigr]_{\tfrac12}^{1} =1.

Passo 5

Subtraindo, a área é
\text{Área} =\frac{4}{3}-1 =\frac{1}{3}.Á

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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