Questão 1. a) ( 0,5 \mathrm{pt} ) Considere o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{c} x^{\prime \prime}(t)+p(t) x^{\prime}(t)+q(t) x(t)=f(t) \\\ x\left(t_{0}\right)=x_{0} \quad \text { e } \quad x^{\prime}\left(t_{0}\right)=v_{0} \end{array}\right.
Enuncie o Teorema de existência e unicidade para (1).
b) ( 1,5 \mathrm{pt} ) Verifique que \varphi_{1}(t)=0 e \varphi_{2}(t)=t \operatorname{sen}(t) são soluções para
\left\{\begin{array}{c} t^{2} x^{\prime \prime}(t)+4 t x^{\prime}(t)+\left(t^{2}+6\right) x(t)=0 \\\ x\left(t_{0}\right)=0 \text { e } x^{\prime}\left(t_{0}\right)=0 \end{array}\right.
Mas isto não contradiz o Teorema de existência e unicidade enunciado no item anterior? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado trata de um problema de valor inicial para uma equação diferencial linear de segunda ordem
x''(t) + p(t)\,x'(t) + q(t)\,x(t) = f(t),
com condições iniciais
x(t_{0}) = x_{0}, \quad x'(t_{0}) = v_{0}.
O conteúdo é o Teorema de existência e unicidade para equações lineares e, em seguida, a verificação de duas soluções de um caso singular em t=0.

Passo 2

Enunciamos o Teorema de existência e unicidade para o problema
\begin{cases} x''(t) + p(t)\,x'(t) + q(t)\,x(t) = f(t),\\\ x(t_{0}) = x_{0},\quad x'(t_{0}) = v_{0}. \end{cases}
Se p, q e f forem contínuas num intervalo aberto I contendo t_{0}, então existe exatamente uma solução x(t), de classe C^{2}, definida em I que satisfaz as condições iniciais.

Passo 3

Agora consideramos o caso singular
\begin{cases} t^{2}x''(t) + 4t\,x'(t) + \bigl(t^{2}+6\bigr)x(t) = 0,\\\ x(0)=0,\quad x'(0)=0, \end{cases}
e as funções \varphi_{1}(t)=0 e \varphi_{2}(t)=t\operatorname{sen}(t).
  1. Para \varphi_{1}(t)=0 temos triviais:
    \varphi_{1}'=0, \varphi_{1}''=0, logo
t^{2}\cdot0 + 4t\cdot0 + (t^{2}+6)\cdot0 = 0,
e \varphi_{1}(0)=0, \varphi_{1}'(0)=0.
2. Para \varphi_{2}(t)=t\operatorname{sen}(t) calculamos
\varphi_{2}'(t)=\operatorname{sen}(t)+t\cos(t), \quad \varphi_{2}''(t)=2\cos(t)-t\operatorname{sen}(t).
Substituindo na equação:
t^{2}\bigl(2\cos t - t\operatorname{sen} t\bigr) +4t\bigl(\operatorname{sen} t +t\cos t\bigr) +\bigl(t^{2}+6\bigr)\,t\operatorname{sen} t =0,
pois os termos em t^{3}\operatorname{sen} t se cancelam e os restantes também se anulam identicamente.
Além disso
\varphi_{2}(0)=0\cdot\sen0=0 e
\varphi_{2}'(0)=\sen0+0\cdot\cos0=0.
Logo \varphi_{2} também satisfaz o problema.

Passo 4

Não há contradição com o Teorema de existência e unicidade, pois nesse caso o coeficiente de x'' é t^{2}, que se anula em t=0. Logo as funções
p(t)=\frac{4t}{t^{2}},\quad q(t)=\frac{t^{2}+6}{t^{2}}
não são contínuas em t=0, e o Teorema não se aplica nesse ponto singular.

Resposta

Embora tenhamos duas soluções distintas para as mesmas condições iniciais em t_{0}=0, isso não viola o Teorema de existência e unicidade porque os coeficientes não são contínuos em t=0 (a equação é singular nesse ponto).

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