Questão 1. a) (
) Considere o problema de valor inicial
Enuncie o Teorema de existência e unicidade para (1).
b) (
) Verifique que
e
são soluções para
Mas isto não contradiz o Teorema de existência e unicidade enunciado no item anterior? Justifique sua resposta.
b) (
Passo 1
O enunciado trata de um problema de valor inicial para uma equação diferencial linear de segunda ordem
com condições iniciais
O conteúdo é o Teorema de existência e unicidade para equações lineares e, em seguida, a verificação de duas soluções de um caso singular em
.
Passo 2
Enunciamos o Teorema de existência e unicidade para o problema
Se
,
e
forem contínuas num intervalo aberto
contendo
, então existe exatamente uma solução
, de classe
, definida em
que satisfaz as condições iniciais.
Passo 3
Agora consideramos o caso singular
e as funções
e
.
- Para
temos triviais:
, , logo
e
,
.
2. Para calculamos
2. Para
Substituindo na equação:
pois os termos em
se cancelam e os restantes também se anulam identicamente.
Além disso
e
.
Logo também satisfaz o problema.
Além disso
e
.
Logo
Passo 4
Não há contradição com o Teorema de existência e unicidade, pois nesse caso o coeficiente de
é
, que se anula em
. Logo as funções
não são contínuas em
, e o Teorema não se aplica nesse ponto singular.
Resposta
Embora tenhamos duas soluções distintas para as mesmas condições iniciais em
, isso não viola o Teorema de existência e unicidade porque os coeficientes não são contínuos em
(a equação é singular nesse ponto).