Uma sequência de funções reais é uma família de funções fn definidas em determinado conjunto X; já a concepção de séries de funções se apropria do somatório desses termos.
Tanto as sequências quanto as séries de funções podem convergir ou divergir. Com base nisso, avalie as afirmações a seguir e a relação proposta entre elas:
I. As definições de convergência simples e uniforme de sequências de funções podem ser aplicadas eficientemente também para as séries de funções.
PORQUE
II. As séries de funções podem ser entendidas como uma sequência de funções reduzidas ou uma sequência de somas parciais.
Assinale a alternativa correta.
Escolha uma opção:
a. A afirmação I é uma proposição falsa e a Il é verdadeira.
b. As afirmações I e II são proposições falsas.
c. A afirmação I é uma proposição verdadeira e a II é falsa.
d. As afirmações I e II são proposições verdadeiras, mas a II não justifica a I.
e. As afirmações I e II são proposições verdadeiras e a II justifica a I.
Passo 1
O enunciado nos pede para avaliar duas proposições sobre convergência de sequências e séries de funções. O conteúdo é convergência pontual (simples) e uniforme de sequências de funções e a extensão dessas definições para séries de funções. Para resolver, vamos usar a ideia de que uma série de funções \sum_{n=1}^\infty f_n(x) pode ser vista como uma sequência de suas somas parciais
S_N(x)=\sum_{n=1}^N f_n(x),
e então aplicar as definições de convergência pontual e uniforme a essa sequência \{S_N\}.
Passo 2
Definição de convergência de séries de funções via somas parciais:
— Dizemos que a série \sum_{n=1}^\infty f_n(x)converge pontualmente em X se, para cada x\in X, a sequência \bigl\{S_N(x)\bigr\} converge em \mathbb{R}.
— Dizemos que a mesma série converge uniformemente em X se a sequência de funções \{S_N\} converge uniformemente em X, ou seja,
Análise da afirmação I:
“A definição de convergência simples e uniforme de sequências de funções pode ser aplicada também para séries de funções.”
Como a convergência de uma série se baseia exatamente no comportamento da sequência de somas parciais \{S_N\}, usamos as mesmas definições de convergência pontual e uniforme de sequências de funções. Logo, a proposição I é verdadeira.
Passo 4
Análise da afirmação II:
“As séries de funções podem ser entendidas como uma sequência de funções reduzidas ou uma sequência de somas parciais.”
Isso é justamente a noção que usamos: cada soma parcial
S_N(x)=\sum_{n=1}^N f_n(x)
é uma função em X, e a série é a sequência \{S_N\}. Portanto, a proposição II é verdadeira.
Passo 5
Relação de justificativa:
A proposição II explica por que podemos aplicar diretamente as definições de convergência de sequências de funções (I): ao ver a série como a sequência \{S_N\}, fica natural usar convergência pontual ou uniforme para \{S_N\}. Assim, II justifica I.
Resposta
e. As afirmações I e II são proposições verdadeiras e a II justifica a I.