Exercício 0.19 Sejam a, b, c, d \in \mathbb{Z}. Mostre que se a \mid b e c|d então ac|bd.

Passo 1

O enunciado diz que temos inteiros a,b,c,d tais que a\mid b e c\mid d. Queremos provar que então ac\mid bd. O conteúdo usado será a definição de divisibilidade e o fato de que o produto de inteiros é inteiro.

Passo 2

Pela definição de divisibilidade, a\mid b significa que existe k\in\mathbb{Z} tal que
b = a\,k,
e c\mid d significa que existe l\in\mathbb{Z} tal que
d = c\,l.

Passo 3

Multiplicando as duas igualdades obtemos
b\,d = (a\,k)\,(c\,l) = (a\,c)\,(k\,l).

Passo 4

Como k e l são inteiros, o produto k\,l também é inteiro. Logo, pela definição de divisibilidade, ac divide bd.

Resposta

ac\mid bd.

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