Exercício 0.21 Sejam a, b, c, m, n \in \mathbb{Z}. Mostre que a \mid b e a \mid c, então a \mid(b m+c n).

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a,b,c,m,n\in\mathbb{Z} e as hipóteses a\mid b e a\mid c. O conteúdo é teoria de divisibilidade em \mathbb{Z}, em que usaremos a definição: a\mid x significa que existe inteiro k tal que x = a k.

Passo 2

Pela hipótese a\mid b, existe k\in\mathbb{Z} tal que
b = a\,k,
e pela hipótese a\mid c, existe l\in\mathbb{Z} tal que
c = a\,l.

Passo 3

Considere a combinação b m + c n. Substituindo as expressões de b e c obtidas:
b m + c n = (a\,k)\,m + (a\,l)\,n = a\,(k m) + a\,(l n) = a\,(k m + l n).

Passo 4

Como k,m,l,n\in\mathbb{Z}, segue que k m + l n\in\mathbb{Z}. Logo, b m + c n é múltiplo de a.

Resposta

Portanto, a \mid (b m + c n).

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