Utilize o princípio da indução finita para provar as afirmações dadas.
2^{n}<n!, \forall n \in \mathbb{N}, n \geq 4.

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução finita, que
2^n < n!,\quad \forall n \in \mathbb{N},\; n\ge4.
O conteúdo é o princípio da indução: mostramos que a propriedade vale num ponto inicial (caso base) e depois provamos que, se vale para um certo k\ge4, então vale para k+1.

Passo 2

(Caso base) Verificamos a desigualdade em n=4:
2^4 = 16
e
4! = 24.
Como 16 < 24, a propriedade vale para n=4.

Passo 3

(Passo indutivo) Suponha que, para algum k\ge4, valha
2^k < k!.
Queremos mostrar que então
2^{k+1} < (k+1)!.
Note que
2^{k+1} = 2 \cdot 2^k
e, pela hipótese indutiva,
2\cdot 2^k < 2\cdot k!.
Como k\ge4 implica k+1\ge5>2, temos
2\cdot k! \le (k+1)\cdot k! = (k+1)!.
Combinando,
2^{k+1} < 2\cdot k! \le (k+1)!,
ou seja, a propriedade vale para k+1.

Resposta

Portanto, por indução finita, conclui-se que
2^n < n!\quad \text{para todo }n\in\mathbb{N},\;n\ge4.

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