Utilize o princípio da indução finita para provar as afirmações dadas.
O número de diagonais de um polígono de
lados é
.
Observação. A diagonal é definida como o segmento de reta que une dois vértices, não adjacentes.
O número de diagonais de um polígono de
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução finita, que o número de diagonais de um polígono de
lados é
Aqui o conteúdo é o princípio da indução finita aplicado a uma fórmula fechada, e vamos precisar: verificar a base
, assumir a hipótese para
e provar para
.
Passo 2
Base da indução (
). Um triângulo não tem diagonais, logo
Por outro lado, a fórmula dá
Portanto, a fórmula vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução. Suponha que para algum
já seja verdade que
Passo 4
Passo de indução (
). Considere um
-gono. Escolha um dos seus lados, de extremidades
e
, e “remova” o vértice
que o subdividia, obtendo um
-gono.
- Os
segmentos que eram diagonais do -gono continuam diagonais no -gono. - O lado
do -gono passa a ser uma diagonal no -gono (pois em -gono e já não são adjacentes). Isso dá diagonal nova. - O vértice
do -gono forma diagonais com todos os vértices que não sejam ele próprio nem seus dois vizinhos ( e ). Há, ao todo, vértices não-adjacentes a . Logo, surgem mais diagonais vindas de .
Somando, o total de novas diagonais ao passar de
para
é
Logo,
Passo 5
Usando a hipótese de indução
, obtemos
Isso mostra que a fórmula vale também para
.
Resposta
Para todo
, o número de diagonais de um polígono de
lados é