Utilize o princípio da indução finita para provar as afirmações dadas.
O número de diagonais de um polígono de n lados é \frac{n(n-3)}{2}, \forall n \in \mathbb{N}, n \geq 3.
Observação. A diagonal é definida como o segmento de reta que une dois vértices, não adjacentes.

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução finita, que o número de diagonais de um polígono de n lados é
d(n)=\frac{n(n-3)}{2},\quad\forall n\in\mathbb{N},\,n\ge3.
Aqui o conteúdo é o princípio da indução finita aplicado a uma fórmula fechada, e vamos precisar: verificar a base n=3, assumir a hipótese para n=k e provar para n=k+1.

Passo 2

Base da indução ( n=3). Um triângulo não tem diagonais, logo
d(3)=0.
Por outro lado, a fórmula dá
\frac{3\,(3-3)}{2}=\frac{3\cdot0}{2}=0.
Portanto, a fórmula vale para n=3.

Passo 3

Hipótese de indução. Suponha que para algum k\ge3 já seja verdade que
d(k)=\frac{k(k-3)}{2}.

Passo 4

Passo de indução ( k\to k+1). Considere um (k+1)-gono. Escolha um dos seus lados, de extremidades B e E, e “remova” o vértice A que o subdividia, obtendo um k-gono.
  • Os d(k) segmentos que eram diagonais do k-gono continuam diagonais no (k+1)-gono.
  • O lado BE do k-gono passa a ser uma diagonal no (k+1)-gono (pois em (k+1)-gono B e E já não são adjacentes). Isso dá 1 diagonal nova.
  • O vértice A do (k+1)-gono forma diagonais com todos os vértices que não sejam ele próprio nem seus dois vizinhos ( B e E). Há, ao todo, (k+1)-3=k-2 vértices não-adjacentes a A. Logo, surgem mais k-2 diagonais vindas de A.
Somando, o total de novas diagonais ao passar de k para k+1 é
1\;+\;(k-2)\;=\;k-1.
Logo,
d(k+1)=d(k)+(k-1).

Passo 5

Usando a hipótese de indução d(k)=\tfrac{k(k-3)}{2}, obtemos
d(k+1) = \frac{k(k-3)}{2} \;+\;(k-1) = \frac{k(k-3)+2(k-1)}{2} = \frac{k^2-3k+2k-2}{2} = \frac{k^2-k-2}{2} = \frac{(k+1)(k-2)}{2}.
Isso mostra que a fórmula vale também para n=k+1.

Resposta

Para todo n\ge3, o número de diagonais de um polígono de n lados é
\boxed{\frac{n(n-3)}{2}}.

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