Exercício 0.22 Seja
. Mostre que a é par se, e somente se,
é par.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para todo
, vale a bicondicional
O conteúdo principal é a definição de número par (divisibilidade por 2) e a prova de uma bicondicional. Para isso, vamos dividir em duas implicações:
- Se
é par, então é par (prova direta). - Se
é par, então é par (prova via contrarrecíproco).
Passo 2
Prova de “se
é par, então
é par”.
Pela definição, é par significa que existe
tal que
Pela definição,
Elevando ao quadrado, obtemos
Como
, concluímos que
é múltiplo de 2, isto é,
é par.
Passo 3
Prova de “se
é par, então
é par” pelo contrarrecíproco.
O contrarrecíproco da afirmação é: se não é par (ou seja,
é ímpar), então
não é par (isto é,
é ímpar).
Suponha que seja ímpar. Então existe
tal que
O contrarrecíproco da afirmação é: se
Suponha que
Quadruplicando,
O termo
é inteiro, logo
é da forma
, com
, e portanto ímpar.
Isso prova o contrarrecíproco e, por equivalência lógica, garante que se é par então
é par.
Isso prova o contrarrecíproco e, por equivalência lógica, garante que se
Resposta
Mostramos as duas direções da bicondicional, logo para todo
tem-se