Exercício 0.22 Seja a \in \mathbb{Z}. Mostre que a é par se, e somente se, a^{2} é par.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo a\in\mathbb{Z}, vale a bicondicional
a\text{ é par}\quad\Longleftrightarrow\quad a^{2}\text{ é par}.éé
O conteúdo principal é a definição de número par (divisibilidade por 2) e a prova de uma bicondicional. Para isso, vamos dividir em duas implicações:
  1. Se a é par, então a^{2} é par (prova direta).
  2. Se a^{2} é par, então a é par (prova via contrarrecíproco).

Passo 2

Prova de “se a é par, então a^{2} é par”.
Pela definição, a é par significa que existe k\in\mathbb{Z} tal que
a = 2k.
Elevando ao quadrado, obtemos
a^{2} = (2k)^{2} = 4k^{2} = 2\bigl(2k^{2}\bigr).
Como 2k^{2}\in\mathbb{Z}, concluímos que a^{2} é múltiplo de 2, isto é, a^{2} é par.

Passo 3

Prova de “se a^{2} é par, então a é par” pelo contrarrecíproco.
O contrarrecíproco da afirmação é: se a não é par (ou seja, a é ímpar), então a^{2} não é par (isto é, a^{2} é ímpar).
Suponha que a seja ímpar. Então existe m\in\mathbb{Z} tal que
a = 2m + 1.
Quadruplicando,
a^{2} = (2m + 1)^{2} = 4m^{2} + 4m + 1 = 2\bigl(2m^{2} + 2m\bigr) + 1.
O termo 2m^{2} + 2m é inteiro, logo a^{2} é da forma 2q+1, com q\in\mathbb{Z}, e portanto ímpar.
Isso prova o contrarrecíproco e, por equivalência lógica, garante que se a^{2} é par então a é par.

Resposta

Mostramos as duas direções da bicondicional, logo para todo a\in\mathbb{Z} tem-se
a\text{ é par}\quad\Longleftrightarrow\quad a^{2}\text{ é par}.éé

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