Exercício 19: Suponha que uma impressora de alta velocidade cometa erros, segundo um modelo de Poisson com uma taxa de 2 erros por página.
a) Qual é a probabilidade de encontrar pelo menos 1 erro em uma página escolhida ao acaso?
b) Se 5 páginas são sorteadas, ao acaso e de forma independente, qual é a probabilidade de pelo menos 1 página com pelo menos 1 erro por página?
c) Dentro das condições de b ), considere a variável que conta o número de páginas com pelo menos um erro. Você identifica o modelo dessa variável?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas claras:
  • Informação dada: a impressora comete erros por página segundo um modelo de Poisson com taxa de 2 erros por página (ou seja, parâmetro \lambda=2 por página).
  • Pergunta (a): qual é a probabilidade de encontrar pelo menos 1 erro em uma página escolhida ao acaso?
  • Pergunta (b): se 5 páginas são sorteadas, ao acaso e de forma independente, qual é a probabilidade de existir pelo menos 1 página (entre as 5) que tenha pelo menos 1 erro?
  • Pergunta (c): dentro das condições do item (b), considere a variável que conta o número de páginas (entre as 5) com pelo menos um erro. Identifique o modelo probabilístico dessa variável.

Passo 2

Entendendo o modelo de Poisson e como obter a probabilidade de “pelo menos 1 erro” numa página.
Pequena aula: a distribuição de Poisson com parâmetro \lambda>0 descreve o número de ocorrências de um evento em um intervalo fixo quando os eventos ocorrem com taxa média constante e independentemente. A função massa de probabilidade (pmf) é
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},\quad k=0,1,2,\dots
onde X é o número de erros numa página, \lambda é a média esperada (aqui \lambda=2), e é a base dos logaritmos naturais, e k! é fatorial de k. Em particular, a probabilidade de não ocorrer nenhum erro ( k=0) é
P(X=0)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{0}}{0!}=e^{-\lambda}.
Para “pelo menos 1 erro” usamos o complemento: P(X\ge 1)=1-P(X=0). Isso evita somar infinitos termos.

Passo 3

Aplicando ao item (a): calcular P(\text{pelo menos 1 erro numa página})á.
Com \lambda=2,
P(\text{pelo menos 1 erro})=1-P(X=0)=1-e^{-2}.
Explicando cada termo: e^{-2} é a probabilidade de zero erros; subtrair de 1 nos dá a probabilidade de um ou mais erros.

Passo 4

Calculemos a aproximação numérica do item (a) para ficar com um número que dá confiança na resposta (sem usar calculadora complicada, só reconhecer que e^{-2}\approx 0,1353353).
Usando a aproximação conhecida e^{-2}\approx 0,135335283\ldots,
1-e^{-2}\approx 1-0,135335283\approx 0,864664717.
Arredondando razoavelmente, P(\text{pelo menos 1 erro numa página})\approx 0,8647á.

Passo 5

Passando ao item (b): razão e método usado quando há várias páginas independentes.
Entendimento: cada página é uma tentativa independente com probabilidade p de ter pelo menos um erro, onde já calculamos p=1-e^{-2}. Se sorteamos 5 páginas independentes, a situação “nenhuma página tem erro” significa que todas as 5 tiveram zero erros. Pela independência, a probabilidade de todas terem zero erros é (P(X=0))^{5}=(e^{-2})^{5}=e^{-10}. Então a probabilidade de “pelo menos 1 página com pelo menos 1 erro” é o complemento:
1-e^{-10}.
Isso usa a regra do complemento: P(\text{pelo menos um})=1-P(\text{nenhum}).

Passo 6

Cálculo numérico do item (b).
Sabendo e^{-10}\approx 4{,}539992976\times 10^{-5} (valor conhecido), temos
1-e^{-10}\approx 1-0{,}0000453999\approx 0{,}9999546001.
Arredondando: \approx 0{,}99995. Ou seja, é praticamente certo que entre 5 páginas haverá pelo menos uma com erro, dado \lambda=2 por página.

Passo 7

Item (c): identificar o modelo da variável que conta o número de páginas (entre as 5) com pelo menos um erro.
Raciocínio: para cada página definimos um indicador I_j que vale 1 se a página j tem pelo menos um erro e 0 caso contrário. Cada I_j é uma variável de Bernoulli com parâmetro p=P(I_j=1)=1-e^{-2}. As páginas foram ditas independentes, logo os I_j são independentes. A soma
Y=\sum_{j=1}^{5} I_j
conta quantas das 5 páginas têm pelo menos um erro. A soma de n Bernoulli independentes idênticas é uma variável binomial \mathrm{Binomial}(n,p). Portanto
Y\sim \mathrm{Binomial}\bigl(n=5,\;p=1-e^{-2}\bigr).

Passo 8

Complemento didático e valores esperados (úteis na prova): para Y\sim \mathrm{Binomial}(5,p) com p=1-e^{-2},
\mathbb{E}[Y]=5p=5(1-e^{-2})\approx 5\cdot 0{,}864664717\approx 4{,}323323585
e
\mathrm{Var}(Y)=5p(1-p)=5(1-e^{-2})e^{-2}\approx 5\cdot 0{,}864664717\cdot 0{,}135335283\approx 0{,}585.
Esses números podem ser úteis se pedirem média ou variância do número de páginas com erro.

Resposta

(a) 1-e^{-2}\approx 0,8646647
(b) 1-e^{-10}\approx 0,9999546
(c) Y\sim \mathrm{Binomial}\bigl(n=5,\;p=1-e^{-2}\bigr)

Exercícios relacionados