Exercício 19: Suponha que uma impressora de alta velocidade cometa erros, segundo um modelo de Poisson com uma taxa de 2 erros por página.
a) Qual é a probabilidade de encontrar pelo menos 1 erro em uma página escolhida ao acaso?
b) Se 5 páginas são sorteadas, ao acaso e de forma independente, qual é a probabilidade de pelo menos 1 página com pelo menos 1 erro por página?
c) Dentro das condições de b ), considere a variável que conta o número de páginas com pelo menos um erro. Você identifica o modelo dessa variável?
a) Qual é a probabilidade de encontrar pelo menos 1 erro em uma página escolhida ao acaso?
b) Se 5 páginas são sorteadas, ao acaso e de forma independente, qual é a probabilidade de pelo menos 1 página com pelo menos 1 erro por página?
c) Dentro das condições de b ), considere a variável que conta o número de páginas com pelo menos um erro. Você identifica o modelo dessa variável?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas claras:
- Informação dada: a impressora comete erros por página segundo um modelo de Poisson com taxa de
erros por página (ou seja, parâmetro por página). - Pergunta (a): qual é a probabilidade de encontrar pelo menos
erro em uma página escolhida ao acaso? - Pergunta (b): se
páginas são sorteadas, ao acaso e de forma independente, qual é a probabilidade de existir pelo menos página (entre as ) que tenha pelo menos erro? - Pergunta (c): dentro das condições do item (b), considere a variável que conta o número de páginas (entre as
) com pelo menos um erro. Identifique o modelo probabilístico dessa variável.
Passo 2
Entendendo o modelo de Poisson e como obter a probabilidade de “pelo menos 1 erro” numa página.
Pequena aula: a distribuição de Poisson com parâmetro
descreve o número de ocorrências de um evento em um intervalo fixo quando os eventos ocorrem com taxa média constante e independentemente. A função massa de probabilidade (pmf) é
onde
é o número de erros numa página,
é a média esperada (aqui
),
é a base dos logaritmos naturais, e
é fatorial de
. Em particular, a probabilidade de não ocorrer nenhum erro (
) é
Para “pelo menos
erro” usamos o complemento:
. Isso evita somar infinitos termos.
Passo 3
Aplicando ao item (a): calcular
.
Com
,
Explicando cada termo:
é a probabilidade de zero erros; subtrair de
nos dá a probabilidade de um ou mais erros.
Passo 4
Calculemos a aproximação numérica do item (a) para ficar com um número que dá confiança na resposta (sem usar calculadora complicada, só reconhecer que
).
Usando a aproximação conhecida
,
Arredondando razoavelmente,
.
Passo 5
Passando ao item (b): razão e método usado quando há várias páginas independentes.
Entendimento: cada página é uma tentativa independente com probabilidade
de ter pelo menos um erro, onde já calculamos
. Se sorteamos
páginas independentes, a situação “nenhuma página tem erro” significa que todas as 5 tiveram zero erros. Pela independência, a probabilidade de todas terem zero erros é
. Então a probabilidade de “pelo menos 1 página com pelo menos 1 erro” é o complemento:
Isso usa a regra do complemento:
.
Passo 6
Cálculo numérico do item (b).
Sabendo
(valor conhecido), temos
Arredondando:
. Ou seja, é praticamente certo que entre 5 páginas haverá pelo menos uma com erro, dado
por página.
Passo 7
Item (c): identificar o modelo da variável que conta o número de páginas (entre as 5) com pelo menos um erro.
Raciocínio: para cada página definimos um indicador
que vale
se a página
tem pelo menos um erro e
caso contrário. Cada
é uma variável de Bernoulli com parâmetro
. As páginas foram ditas independentes, logo os
são independentes. A soma
conta quantas das
páginas têm pelo menos um erro. A soma de
Bernoulli independentes idênticas é uma variável binomial
. Portanto
Passo 8
Complemento didático e valores esperados (úteis na prova): para
com
,
e
Esses números podem ser úteis se pedirem média ou variância do número de páginas com erro.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)