Exercício 1.20. Aplicando diferenciação e integração termo a termo, encontre a soma das seguintes séries: x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\cdots+\frac{x^{2 n-1}}{2 n-1}+\cdots
Aplicação exigida: usar diferenciação e/ou integração termo a termo. Informação relevante dada:
A série é uma série de potências em x.
Precisa-se encontrar uma função fechada (fórmula) cujo desenvolvimento em potência de x reproduz essa soma.
É esperado que a resposta contenha o intervalo de validade (raio de convergência) da soma.
Passo 2
Começo com uma série simples que conhecemos bem: a série geométrica. Para |t|<1 vale
\sum_{k=0}^{\infty} t^{k}=\frac{1}{1-t}.
Aqui escolho t=x^{2}. Substituindo obtemos, para |x|<1,
\sum_{k=0}^{\infty} x^{2k}=\frac{1}{1-x^{2}}.
Comentário didático rápido: a série de potências converge uniformemente em todo intervalo fechado contido em (-1,1). Isso permite integrar e diferenciar termo a termo nesses intervalos sem problemas — é por isso que vamos poder integrar a série termo a termo para obter a nossa série com denominadores 2k+1.
Passo 3
Integro as duas expressões entre 0 e x (uso uma variável auxiliar t dentro da integral para evitar confusão). Para |x|<1 podemos trocar soma e integral: