Exercício 1.20. Aplicando diferenciação e integração termo a termo, encontre a soma das seguintes séries:
x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\cdots+\frac{x^{2 n-1}}{2 n-1}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}=x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\cdots
Aplicação exigida: usar diferenciação e/ou integração termo a termo. Informação relevante dada:
  • A série é uma série de potências em x.
  • Precisa-se encontrar uma função fechada (fórmula) cujo desenvolvimento em potência de x reproduz essa soma.
  • É esperado que a resposta contenha o intervalo de validade (raio de convergência) da soma.

Passo 2

Começo com uma série simples que conhecemos bem: a série geométrica. Para |t|<1 vale
\sum_{k=0}^{\infty} t^{k}=\frac{1}{1-t}.
Aqui escolho t=x^{2}. Substituindo obtemos, para |x|<1,
\sum_{k=0}^{\infty} x^{2k}=\frac{1}{1-x^{2}}.
Comentário didático rápido: a série de potências converge uniformemente em todo intervalo fechado contido em (-1,1). Isso permite integrar e diferenciar termo a termo nesses intervalos sem problemas — é por isso que vamos poder integrar a série termo a termo para obter a nossa série com denominadores 2k+1.

Passo 3

Integro as duas expressões entre 0 e x (uso uma variável auxiliar t dentro da integral para evitar confusão). Para |x|<1 podemos trocar soma e integral:
\int_{0}^{x}\sum_{k=0}^{\infty} t^{2k}\,dt=\sum_{k=0}^{\infty}\int_{0}^{x} t^{2k}\,dt.
No lado esquerdo a soma integrada é
\int_{0}^{x}\frac{1}{1-t^{2}}\,dt.
No lado direito cada integral é elementar:
\int_{0}^{x} t^{2k}\,dt=\left.\frac{t^{2k+1}}{2k+1}\right|_{0}^{x}=\frac{x^{2k+1}}{2k+1}.
Portanto obtemos, para |x|<1,
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{2k+1}=\int_{0}^{x}\frac{1}{1-t^{2}}\,dt.

Passo 4

Calculo a integral no lado direito. Uma primitiva conhecida de \dfrac{1}{1-t^{2}} é a função \operatorname{arctanh}(t) ou, em termos de logaritmos,
\int\frac{1}{1-t^{2}}\,dt=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+t}{1-t}\right)+C.
Como a integral é definida de 0 a x, o constante é escolhido de modo que o resultado seja zero em x=0. Assim
\int_{0}^{x}\frac{1}{1-t^{2}}\,dt=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right).
Logo, para |x|<1,
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{2k+1}=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right).

Passo 5

Reindexo a soma para coincidir com a notação do enunciado. Tomando k=n-1 temos
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2k+1}}{2k+1}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}.
Portanto a série do enunciado soma exatamente para
\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right),
com raio de convergência 1, ou seja válida para |x|<1.

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação (sanity check): derivando a expressão encontrada obtemos
\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\right]=\frac{1}{1-x^{2}}=\sum_{k=0}^{\infty}x^{2k},
que é exatamente a soma termo a termo da derivada da série original. Isso confirma a consistência do procedimento.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right),\; |x|<1

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