Exercício 1.20. Aplicando diferenciação e integração termo a termo, encontre a soma das seguintes séries:
Passo 1
O enunciado dá a série de potências cujos termos são
e pede para encontrar a soma dessa série como função de
.
Informação importante extraída do enunciado:
Informação importante extraída do enunciado:
- A soma é uma função de
que será expressa em forma fechada. - A série é uma série de potências (começa em
com expoente ).
Passo 2
Vamos trabalhar com séries de potências conhecidas e usar diferenciação termo a termo. Primeiro, a série geométrica básica (válida para
) é
Explicando a fórmula: o símbolo
significa somar
. O lado direito
é a forma fechada dessa soma quando
. A condição
garante convergência da série e permite operações termo a termo (diferenciação, integração) em cada ponto dentro do intervalo de convergência.
Propriedade que vamos usar: se uma série de potências
converge numa bola
, então ela pode ser diferenciada termo a termo no mesmo intervalo, e
válido para
. Isso significa que o coeficiente
vira
e o expoente diminui em 1 ao derivar.
Passo 3
Derivando a série geométrica termo a termo (válido para
) obtemos:
No lado fechado:
Portanto
Passo 4
Nosso objetivo envolve
. Note que
ou seja, a soma pedida é a soma de
com
. Já temos
. Falta
.
Para obter
podemos partir de
. Multiplicando a série do Passo 3 por
temos
Agora derivamos termo a termo essa igualdade (a derivada da esquerda gera
):
No lado fechado, derivando
usamos regra do produto:
. A derivada é
Colocando sobre o mesmo denominador
obtemos
Assim
Passo 5
Agora somamos as duas séries que compõem nosso termo:
Substituindo as expressões obtidas:
Colocando em denominador comum
:
Passo 6
Portanto a soma da série é
válida para
(região onde as operações termo a termo foram justificadas).
Passo 7
Checagem rápida para ganhar confiança: em
a série dá o termo inicial
; a fórmula dá
. Em
a fórmula dá
. Se calcularmos alguns termos numéricos da série quando
veremos que a soma converge para esse valor — tudo consistente.