Exercício 1.20. Aplicando diferenciação e integração termo a termo, encontre a soma das seguintes séries:
1 \cdot 2+2 \cdot 3 x+\cdots+n(n+1) x^{n-1}+\cdots

Passo 1

O enunciado dá a série de potências cujos termos são
1\cdot 2 + 2\cdot 3\,x + 3\cdot 4\,x^2 + \cdots + n(n+1)\,x^{n-1} + \cdots
e pede para encontrar a soma dessa série como função de x.
Informação importante extraída do enunciado:
  • A soma é uma função de x que será expressa em forma fechada.
  • A série é uma série de potências (começa em n=1 com expoente n-1).

Passo 2

Vamos trabalhar com séries de potências conhecidas e usar diferenciação termo a termo. Primeiro, a série geométrica básica (válida para |x|<1) é
\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\frac{1}{1-x}.
Explicando a fórmula: o símbolo \sum_{n=0}^{\infty} x^{n} significa somar x^0+x^1+x^2+\cdots. O lado direito \dfrac{1}{1-x} é a forma fechada dessa soma quando |x|<1. A condição |x|<1 garante convergência da série e permite operações termo a termo (diferenciação, integração) em cada ponto dentro do intervalo de convergência.
Propriedade que vamos usar: se uma série de potências \sum a_n x^n converge numa bola |x|<R, então ela pode ser diferenciada termo a termo no mesmo intervalo, e
\frac{d}{dx}\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\right)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1},
válido para |x|<R. Isso significa que o coeficiente a_n vira n a_n e o expoente diminui em 1 ao derivar.

Passo 3

Derivando a série geométrica termo a termo (válido para |x|<1) obtemos:
\frac{d}{dx}\left(\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}.
No lado fechado:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x}\right)=\frac{1}{(1-x)^2}.
Portanto
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2},\qquad |x|<1.

Passo 4

Nosso objetivo envolve n(n+1)x^{n-1}. Note que
n(n+1)x^{n-1}=n^2 x^{n-1} + n x^{n-1},
ou seja, a soma pedida é a soma de \sum n^2 x^{n-1} com \sum n x^{n-1}. Já temos \sum n x^{n-1}=\dfrac{1}{(1-x)^2}. Falta \sum n^2 x^{n-1}.
Para obter \sum n^2 x^{n-1} podemos partir de \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n}. Multiplicando a série do Passo 3 por x temos
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n}=\frac{x}{(1-x)^2}.
Agora derivamos termo a termo essa igualdade (a derivada da esquerda gera \sum n^2 x^{n-1}):
\frac{d}{dx}\left(\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n-1}.
No lado fechado, derivando \dfrac{x}{(1-x)^2} usamos regra do produto: x(1-x)^{-2}. A derivada é
\frac{d}{dx}\!\left[x(1-x)^{-2}\right]=(1-x)^{-2}+x\cdot(-2)(1-x)^{-3}\cdot(-1)=(1-x)^{-2}+2x(1-x)^{-3}.
Colocando sobre o mesmo denominador (1-x)^3 obtemos
(1-x)^{-2}+2x(1-x)^{-3}=\frac{(1-x)+2x}{(1-x)^3}=\frac{1+x}{(1-x)^3}.
Assim
\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n-1}=\frac{1+x}{(1-x)^3},\qquad |x|<1.

Passo 5

Agora somamos as duas séries que compõem nosso termo:
\sum_{n=1}^{\infty} n(n+1) x^{n-1} = \sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n-1} + \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}.
Substituindo as expressões obtidas:
\sum_{n=1}^{\infty} n(n+1) x^{n-1} = \frac{1+x}{(1-x)^3} + \frac{1}{(1-x)^2}.
Colocando em denominador comum (1-x)^3:
\frac{1+x}{(1-x)^3} + \frac{1}{(1-x)^2}=\frac{1+x}{(1-x)^3} + \frac{1-x}{(1-x)^3}=\frac{(1+x)+(1-x)}{(1-x)^3}=\frac{2}{(1-x)^3}.

Passo 6

Portanto a soma da série é
\sum_{n=1}^{\infty} n(n+1) x^{n-1}=\frac{2}{(1-x)^3},
válida para |x|<1 (região onde as operações termo a termo foram justificadas).

Passo 7

Checagem rápida para ganhar confiança: em x=0 a série dá o termo inicial 1\cdot 2 = 2; a fórmula dá \dfrac{2}{(1-0)^3}=2. Em x=\tfrac{1}{2} a fórmula dá \dfrac{2}{(1/2)^3}=2/(1/8)=16. Se calcularmos alguns termos numéricos da série quando x=\tfrac{1}{2} veremos que a soma converge para esse valor — tudo consistente.

Resposta

\sum_{n=1}^{\infty} n(n+1) x^{n-1}=\frac{2}{(1-x)^3},\qquad |x|<1

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