Exercício 1.20. Aplicando diferenciação e integração termo a termo, encontre a soma das seguintes séries:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a soma da série infinita
usando diferenciação e integração termo a termo. Informações dadas e o que se quer:
- A série é
. - Queremos escrever essa soma como uma função explícita de
(ou seja, encontrar tal que soma da série). - É necessário justificar (pelo menos qualitativamente) onde a operação termo a termo é válida (intervalo de convergência).
Passo 2
Começo por uma série geométrica simples que conhecemos bem e que se relaciona com o problema. Para
vale a soma da série geométrica
Explicação rápida: a soma de
é
quando
. Aqui
, portanto a suma é
. A condição
garante convergência absoluta da série geométrica.
Passo 3
Agora integro essa igualdade em
no intervalo de
até
. Primeiro, escrevo a versão dependente de
:
Justificativa da integração termo a termo: a série geométrica converge uniformemente em qualquer intervalo fechado
com
, então pode-se integrar termo a termo nesses intervalos; isso dá validade para todo
com
ao integrar de
a
.
Passo 4
Integro membro a membro de
a
:
Pelo termo a termo:
Calculando as integrais simples:
pois
.
Passo 5
Reindexando a soma para começar em
: ponha
na série à esquerda; então
válido para
. Observação sobre os extremos do intervalo de convergência:
- Em
a série vira , que converge (soma ) pelo teste de Leibniz (série alternada com termos decrescentes em módulo para e com limite zero). Logo a igualdade estende-se a . - Em
a série vira , que diverge. Portanto não pertence ao intervalo de convergência.
Passo 6
Conclusão final e lembrete prático para a prova: a técnica usada foi partir da série geométrica conhecida, integrar termo a termo (justificado por convergência uniforme em
), e reindexar para obter exatamente a série pedida. Sempre que vir uma série do tipo
pense em
.