Exercício 1.20. Aplicando diferenciação e integração termo a termo, encontre a soma das seguintes séries:
x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a soma da série infinita
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{\,n-1}\frac{x^{n}}{n},
usando diferenciação e integração termo a termo. Informações dadas e o que se quer:
  • A série é \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{\,n-1}\frac{x^{n}}{n}.
  • Queremos escrever essa soma como uma função explícita de x (ou seja, encontrar S(x) tal que S(x)= soma da série).
  • É necessário justificar (pelo menos qualitativamente) onde a operação termo a termo é válida (intervalo de convergência).

Passo 2

Começo por uma série geométrica simples que conhecemos bem e que se relaciona com o problema. Para |x|<1 vale a soma da série geométrica
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{\,n}x^{n}=\frac{1}{1+ x}.
Explicação rápida: a soma de \sum_{n=0}^{\infty} r^{n} é \dfrac{1}{1-r} quando |r|<1. Aqui r=-x, portanto a suma é \dfrac{1}{1-(-x)}=\dfrac{1}{1+x}. A condição |x|<1 garante convergência absoluta da série geométrica.

Passo 3

Agora integro essa igualdade em t no intervalo de 0 até x. Primeiro, escrevo a versão dependente de t:
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{\,n}t^{n}=\frac{1}{1+t},\qquad |t|<1.
Justificativa da integração termo a termo: a série geométrica converge uniformemente em qualquer intervalo fechado [-r,r] com 0<r<1, então pode-se integrar termo a termo nesses intervalos; isso dá validade para todo x com |x|<1 ao integrar de 0 a x.

Passo 4

Integro membro a membro de 0 a x:
\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{\,n}t^{n}\,dt=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t}\,dt.
Pelo termo a termo:
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{\,n}\int_{0}^{x}t^{n}\,dt=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t}\,dt.
Calculando as integrais simples:
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{\,n}\frac{x^{\,n+1}}{n+1}=\ln(1+x)\quad\text{(para \(|x|<1\))},
pois \displaystyle \int_{0}^{x}\frac{1}{1+t}\,dt=\ln(1+x)-\ln(1+0)=\ln(1+x).

Passo 5

Reindexando a soma para começar em n=1: ponha m=n+1 na série à esquerda; então
\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^{\,m-1}\frac{x^{m}}{m}=\ln(1+x),
válido para |x|<1. Observação sobre os extremos do intervalo de convergência:
  • Em x=1 a série vira \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n-1}\frac{1}{n}, que converge (soma =\ln 2) pelo teste de Leibniz (série alternada com termos decrescentes em módulo para n\to\infty e com limite zero). Logo a igualdade estende-se a x=1.
  • Em x=-1 a série vira -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}, que diverge. Portanto x=-1 não pertence ao intervalo de convergência.

Passo 6

Conclusão final e lembrete prático para a prova: a técnica usada foi partir da série geométrica conhecida, integrar termo a termo (justificado por convergência uniforme em |t|<1), e reindexar para obter exatamente a série pedida. Sempre que vir uma série do tipo \sum (-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n} pense em \ln(1+x).

Resposta

\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n-1}\frac{x^{n}}{n}=\ln(1+x)\quad\text{para }-1<x\le 1

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