Exercício 1.20. Aplicando diferenciação e integração termo a termo, encontre a soma das seguintes séries: 1-3 x^{2}+5 x^{4}-\cdots+(-1)^{n-1}(2 n-1) x^{2 n-2}+\cdots
Pelo teste da razão, a série converge quando |x|^{2}<1, isto é, quando |x|<1. Portanto podemos procurar a soma como uma função válida para |x|<1. (Além disso, dentro do raio de convergência de uma série de potências é permitido diferenciar termo a termo.)
Passo 3
Observação útil para simplificar: a regra da derivada diz que, para inteiro k\ge1,
\frac{d}{dx}x^{k}=k x^{k-1}.
Aplicando isso com k=2n-1 obtemos
\frac{d}{dx}x^{2n-1}=(2n-1)x^{2n-2}.
Logo o fator (2n-1)x^{2n-2} do enunciado é a derivada de x^{2n-1}. Isso sugere escrever a série como derivada termo a termo de uma série mais simples: