Exercício 1.20. Aplicando diferenciação e integração termo a termo, encontre a soma das seguintes séries:
1-3 x^{2}+5 x^{4}-\cdots+(-1)^{n-1}(2 n-1) x^{2 n-2}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
1-3 x^{2}+5 x^{4}-\cdots+(-1)^{n-1}(2 n-1) x^{2 n-2}+\cdots
Vou listar claramente o que nos é dado e o que se pede:
  • A série é infinita com termo geral \;a_n = (-1)^{n-1}(2n-1)x^{2n-2}\; para n\ge 1.
  • O objetivo é encontrar uma expressão fechada para a soma (uma função de x) válida no intervalo de convergência da série.
  • Não foi fornecida nenhuma figura; todos os dados necessários estão no enunciado acima.

Passo 2

Verificar a região onde a soma faz sentido (convergência). Use o teste da razão para o termo geral \;a_n = (-1)^{n-1}(2n-1)x^{2n-2}.
Calcule
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{2n+1}{2n-1}\,|x|^{2}.
Ao tomar o limite quando n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = |x|^{2}.
Pelo teste da razão, a série converge quando |x|^{2}<1, isto é, quando |x|<1. Portanto podemos procurar a soma como uma função válida para |x|<1. (Além disso, dentro do raio de convergência de uma série de potências é permitido diferenciar termo a termo.)

Passo 3

Observação útil para simplificar: a regra da derivada diz que, para inteiro k\ge1,
\frac{d}{dx}x^{k}=k x^{k-1}.
Aplicando isso com k=2n-1 obtemos
\frac{d}{dx}x^{2n-1}=(2n-1)x^{2n-2}.
Logo o fator (2n-1)x^{2n-2} do enunciado é a derivada de x^{2n-1}. Isso sugere escrever a série como derivada termo a termo de uma série mais simples:
S(x):=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}(2n-1)x^{2n-2} = \frac{d}{dx}\left(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}x^{2n-1}\right),
válido para |x|<1 por ser uma série de potências dentro do raio de convergência.

Passo 4

Calcular a série interior (aquela sem o fator (2n-1)):
T(x):=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}x^{2n-1}.
Fatorando x e reindexando com m=n-1,
T(x)=x\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}x^{2m}.
A soma geométrica padrão diz que, para |r|<1,
\sum_{m=0}^{\infty}r^{m}=\frac{1}{1-r}.
Aqui r=-x^{2} e |r|=|x|^{2}<1, portanto
\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^{m}x^{2m}=\frac{1}{1-(-x^{2})}=\frac{1}{1+x^{2}}.
Assim
T(x)=\frac{x}{1+x^{2}}.

Passo 5

Derivar T(x) para obter S(x). Use a regra do quociente: se u(x)=x e v(x)=1+x^{2}, então
T(x)=\frac{u}{v},\qquad u'=1,\quad v'=2x,
e
T'(x)=\frac{u'v - u v'}{v^{2}} =\frac{1\cdot(1+x^{2}) - x\cdot(2x)}{(1+x^{2})^{2}}.
Simplificando o numerador:
1+x^{2}-2x^{2}=1-x^{2}.
Portanto
S(x)=T'(x)=\frac{1-x^{2}}{(1+x^{2})^{2}},\qquad\text{para }|x|<1.

Passo 6

Verificação rápida dos primeiros termos (checagem por expansão): expandindo em potências pares,
\frac{1-x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}=(1-x^{2})\bigl(1-2x^{2}+3x^{4}-4x^{6}+\cdots\bigr) =1-3x^{2}+5x^{4}-\cdots,
o que coincide com os termos iniciais da série dada, reforçando que a expressão encontrada está correta.

Resposta

\frac{1-x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}\quad\text{para }|x|<1

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