Exercício 1.20. Aplicando diferenciação e integração termo a termo, encontre a soma das seguintes séries:
1+2 x+3 x^{2}+\cdots+(n+1) x^{n}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a soma da série infinita
1+2x+3x^{2}+\cdots+(n+1)x^{n}+\cdots
ou seja, determinar a soma da série de termos gerais (n+1)x^{n} quando ela converge. As informações relevantes que temos do enunciado são:
  • A série é uma série de potências com termo geral (n+1)x^{n}.
  • Deve-se usar diferenciação (e/ou integração) termo a termo para encontrar a soma.
    Não há outros dados numéricos; a resposta deve indicar a expressão fechada da soma e a condição sobre x em que essa expressão é válida.

Passo 2

Lembrete útil (fórmula de partida). A série geométrica básica e muito usada é
\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\frac{1}{1-x},
válida para |x|<1. Explico por que: para um número real ou complexo x com |x|<1, as potências x^{n} tendem a zero e os somatórios parciais formam uma sequência convergente cujo limite é \dfrac{1}{1-x}. Esta é a série que vamos manipular term a term (diferenciando) para obter somas com fatores n ou (n+1).

Passo 3

Por que é permitido diferenciar termo a termo? Resposta curta e prática: dentro do raio de convergência ( |x|<1) uma série de potências pode ser diferenciada termo a termo, e a série resultante converge para a derivada da soma. Não vou entrar em provas técnicas agora, apenas use isso como regra de ouro para potências em exercícios de prova. Aplicando a diferenciação termo a termo à série geométrica temos, derivando ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}\left(\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}\right)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x}\right).
No lado esquerdo, derivando termo a termo,
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=\sum_{n=1}^{\infty} n\,x^{n-1},
pois o termo com n=0 tem derivada zero. No lado direito, derivando (1-x)^{-1} obtemos (1-x)^{-2} (pela regra da cadeia). Logo
\sum_{n=1}^{\infty} n\,x^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^{2}},
válido para |x|<1.

Passo 4

Multiplicando a igualdade anterior por x (isso apenas reindexa os potes e é legítimo dentro do mesmo intervalo de convergência), obtemos
\sum_{n=1}^{\infty} n\,x^{n}=\frac{x}{(1-x)^{2}}.
Note que a soma à esquerda começa em n=1; o termo n=0 de n x^{n} é zero, então não muda se escrevermos a soma a partir de n=0.

Passo 5

Agora reescrevo a série pedida em termos das somas conhecidas. A série que queremos é
\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} n\,x^{n}+\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}.
Usando as fórmulas que já temos:
\sum_{n=0}^{\infty} n\,x^{n}=\frac{x}{(1-x)^{2}}, \qquad \sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\frac{1}{1-x},
portanto
\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^{n}=\frac{x}{(1-x)^{2}}+\frac{1}{1-x}.

Passo 6

Faço a soma algébrica final para simplificar a expressão. Colocando em denominador comum (1-x)^{2},
\frac{x}{(1-x)^{2}}+\frac{1}{1-x}=\frac{x}{(1-x)^{2}}+\frac{1-x}{(1-x)^{2}}=\frac{x+1-x}{(1-x)^{2}}=\frac{1}{(1-x)^{2}}.
Portanto a soma pedida tem a forma simples \dfrac{1}{(1-x)^{2}}, válida para |x|<1.

Passo 7

Verificação numérica rápida para ganhar confiança: escolha x=\tfrac{1}{2}. A fórmula dá
\frac{1}{(1-\tfrac{1}{2})^{2}}=\frac{1}{(\tfrac{1}{2})^{2}}=4.
Se calcularmos alguns termos da série original com x=\tfrac{1}{2}:
1+2\cdot\tfrac{1}{2}+3\cdot\tfrac{1}{4}+4\cdot\tfrac{1}{8}+\cdots =1+1+0,75+0,5+\cdots
os parciais aproximam-se de 4. Boa checagem prática.

Resposta

\dfrac{1}{(1-x)^{2}},\; |x|<1

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