Exercício 1.20. Aplicando diferenciação e integração termo a termo, encontre a soma das seguintes séries:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a soma da série infinita
ou seja, determinar a soma da série de termos gerais
quando ela converge. As informações relevantes que temos do enunciado são:
- A série é uma série de potências com termo geral
. - Deve-se usar diferenciação (e/ou integração) termo a termo para encontrar a soma.
Não há outros dados numéricos; a resposta deve indicar a expressão fechada da soma e a condição sobreem que essa expressão é válida.
Passo 2
Lembrete útil (fórmula de partida). A série geométrica básica e muito usada é
válida para
. Explico por que: para um número real ou complexo
com
, as potências
tendem a zero e os somatórios parciais formam uma sequência convergente cujo limite é
. Esta é a série que vamos manipular term a term (diferenciando) para obter somas com fatores
ou
.
Passo 3
Por que é permitido diferenciar termo a termo? Resposta curta e prática: dentro do raio de convergência (
) uma série de potências pode ser diferenciada termo a termo, e a série resultante converge para a derivada da soma. Não vou entrar em provas técnicas agora, apenas use isso como regra de ouro para potências em exercícios de prova. Aplicando a diferenciação termo a termo à série geométrica temos, derivando ambos os lados em relação a
:
No lado esquerdo, derivando termo a termo,
pois o termo com
tem derivada zero. No lado direito, derivando
obtemos
(pela regra da cadeia). Logo
válido para
.
Passo 4
Multiplicando a igualdade anterior por
(isso apenas reindexa os potes e é legítimo dentro do mesmo intervalo de convergência), obtemos
Note que a soma à esquerda começa em
; o termo
de
é zero, então não muda se escrevermos a soma a partir de
.
Passo 5
Agora reescrevo a série pedida em termos das somas conhecidas. A série que queremos é
Usando as fórmulas que já temos:
portanto
Passo 6
Faço a soma algébrica final para simplificar a expressão. Colocando em denominador comum
,
Portanto a soma pedida tem a forma simples
, válida para
.
Passo 7
Verificação numérica rápida para ganhar confiança: escolha
. A fórmula dá
Se calcularmos alguns termos da série original com
:
os parciais aproximam-se de
. Boa checagem prática.