Exercício 1.20. Aplicando diferenciação e integração termo a termo, encontre a soma das seguintes séries:
\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}+\frac{3}{x^{3}}+\cdots+\frac{n}{x^{n}}+\cdots

Passo 1

O enunciado nos dá a série infinita
\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}+\frac{3}{x^{3}}+\cdots+\frac{n}{x^{n}}+\cdots
e pede para encontrar a soma dessa série (ou seja, uma expressão fechada para o valor somado), em função de x. As informações relevantes que temos são os termos gerais: o n-ésimo termo é \dfrac{n}{x^{n}} para n=1,2,3,\dots. Não foi dada explicitamente a região de x onde a série converge, então teremos que determinar isso durante a resolução.

Passo 2

Vamos reconhecer a série como uma série de potências em torno de zero usando a substituição
r=\frac{1}{x}.
Com isso o termo geral fica n r^{n} e a soma procurada é
S=\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n}.
Antes de somar, lembro a série geométrica básica: para |r|<1 vale
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\frac{1}{1-r}.
Isso é a peça fundamental que vamos usar.

Passo 3

Agora vamos diferenciar a série geométrica termo a termo para obter uma soma com fatores n. Explico com calma o porquê: dentro do raio de convergência |r|<1 a série geométrica converge uniformemente em qualquer compacto estritamente interno a esse disco, e portanto podemos diferenciar termo a termo. Isso produz fórmulas úteis que são válidas quando |r|<1.
Partindo de
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\frac{1}{1-r},
diferenciando ambos os lados em relação a r obtemos (para |r|<1)
\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n-1}=\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{1-r}\right).
Nota: o somatório começa em n=1 após a diferenciação porque o termo n=0 da série original é constante 1 e sua derivada é zero.

Passo 4

Calculo explícito da derivada do lado direito. Usando regra da derivada para \dfrac{1}{1-r}=(1-r)^{-1},
\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{1-r}\right)=(1-r)^{-2}.
Portanto temos a identidade (válida para |r|<1)
\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n-1}=\frac{1}{(1-r)^{2}}.

Passo 5

Multiplicando a identidade por r (isso apenas muda o expoente nas potências), obtemos
\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n}=\frac{r}{(1-r)^{2}}.
Esta é exatamente a soma na forma em r que queremos.

Passo 6

Agora voltamos à variável original: lembrando que \,r=\dfrac{1}{x}\,, substituímos na expressão anterior:
S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{x^{n}}=\frac{\tfrac{1}{x}}{\bigl(1-\tfrac{1}{x}\bigr)^{2}}.

Passo 7

Vamos simplificar a expressão passo a passo. Primeiro escrevo o denominador com um denominador comum:
1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}.
Logo
\bigl(1-\tfrac{1}{x}\bigr)^{2}=\left(\frac{x-1}{x}\right)^{2}=\frac{(x-1)^{2}}{x^{2}}.
Substituindo isso em S,
S=\frac{\tfrac{1}{x}}{\dfrac{(x-1)^{2}}{x^{2}}=\;}\;.
Dividir por uma fração equivale a multiplicar pelo inverso, então
S=\frac{1}{x}\cdot\frac{x^{2}}{(x-1)^{2}}=\frac{x}{(x-1)^{2}}.

Passo 8

Precisamos também informar o intervalo de validade (convergência) da soma obtida. Essa expressão foi construída a partir da identidade da série geométrica diferenciada, que é válida para |r|<1. Como r=\dfrac{1}{x}, a condição é
\left|\frac{1}{x}\right|<1\quad\Longleftrightarrow\quad |x|>1.
Portanto a fórmula \dfrac{x}{(x-1)^{2}} representa a soma da série sempre que |x|>1. Para x=1 a série diverge (os termos não vão a zero). Para |x|<1 a representação por potências em r sai do raio de convergência, então a soma infinita não converge nesse caso.

Passo 9

Um teste rápido numérico para me deixar mais confiante: pegue x=2. A fórmula dá
S=\frac{2}{(2-1)^{2}}=\frac{2}{1}=2.
A série é \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{4}+\dfrac{3}{8}+\dfrac{4}{16}+\cdots. Conhece-se que \sum_{n=1}^{\infty} n/2^{n}=2, então bate certinho — bom sinal!

Resposta

\displaystyle \frac{x}{(x-1)^{2}}, para |x|>1

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