Exercício 1.20. Aplicando diferenciação e integração termo a termo, encontre a soma das seguintes séries: \frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}+\frac{3}{x^{3}}+\cdots+\frac{n}{x^{n}}+\cdots
e pede para encontrar a soma dessa série (ou seja, uma expressão fechada para o valor somado), em função de x. As informações relevantes que temos são os termos gerais: o n-ésimo termo é \dfrac{n}{x^{n}} para n=1,2,3,\dots. Não foi dada explicitamente a região de x onde a série converge, então teremos que determinar isso durante a resolução.
Passo 2
Vamos reconhecer a série como uma série de potências em torno de zero usando a substituição
r=\frac{1}{x}.
Com isso o termo geral fica n r^{n} e a soma procurada é
S=\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n}.
Antes de somar, lembro a série geométrica básica: para |r|<1 vale
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\frac{1}{1-r}.
Isso é a peça fundamental que vamos usar.
Passo 3
Agora vamos diferenciar a série geométrica termo a termo para obter uma soma com fatores n. Explico com calma o porquê: dentro do raio de convergência |r|<1 a série geométrica converge uniformemente em qualquer compacto estritamente interno a esse disco, e portanto podemos diferenciar termo a termo. Isso produz fórmulas úteis que são válidas quando |r|<1.
Partindo de
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\frac{1}{1-r},
diferenciando ambos os lados em relação a r obtemos (para |r|<1)
\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n-1}=\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{1-r}\right).
Nota: o somatório começa em n=1 após a diferenciação porque o termo n=0 da série original é constante 1 e sua derivada é zero.
Passo 4
Calculo explícito da derivada do lado direito. Usando regra da derivada para \dfrac{1}{1-r}=(1-r)^{-1},
Precisamos também informar o intervalo de validade (convergência) da soma obtida. Essa expressão foi construída a partir da identidade da série geométrica diferenciada, que é válida para |r|<1. Como r=\dfrac{1}{x}, a condição é
Portanto a fórmula \dfrac{x}{(x-1)^{2}} representa a soma da série sempre que |x|>1. Para x=1 a série diverge (os termos não vão a zero). Para |x|<1 a representação por potências em r sai do raio de convergência, então a soma infinita não converge nesse caso.
Passo 9
Um teste rápido numérico para me deixar mais confiante: pegue x=2. A fórmula dá
S=\frac{2}{(2-1)^{2}}=\frac{2}{1}=2.
A série é \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{4}+\dfrac{3}{8}+\dfrac{4}{16}+\cdots. Conhece-se que \sum_{n=1}^{\infty} n/2^{n}=2, então bate certinho — bom sinal!