Exercício 1.20. Aplicando diferenciação e integração termo a termo, encontre a soma das seguintes séries:
Passo 1
O enunciado pede a soma da série
e instrui a usar diferenciação e integração termo a termo. Vou listar claramente o que temos e o que se pede:
- Série dada:
. - Objetivo: encontrar uma função explícita
cuja expansão em série de potências seja a série acima, justificando o uso de integração/diferenciação termo a termo e indicando o domínio onde a igualdade vale.
Passo 2
Começo com a série geométrica conhecida e simples. Para uma variável
com
vale
Explicação curta disso: a soma parcial
é uma soma geométrica com razão
; escrevendo a forma fechada e fazendo
(quando
) obtém-se a fórmula acima. Essa série converge para
sempre que
.
Passo 3
Faço a substituição
(isto é permitido quando
, ou seja,
). Com isso obtenho
Aqui peguei
a partir da série geométrica do passo anterior; o domínio de validade passa a ser
.
Passo 4
Agora integro ambos os lados termo a termo no intervalo de
até
. Justificativa informal: dentro do raio de convergência (
) uma série de potências pode ser integrada termo a termo, produzindo outra série de potências com o mesmo raio de convergência. Integrando a esquerda obtenho
Essa integral é conhecida: a primitiva de
é
e
. Portanto
Integrando a série termo a termo (troquei a variável de integração para
para não confundir com a variável externa
):
Note que
vem da antiderivada de
. Comparando as duas integrais, para
temos
Reindexando com
(ou apenas observando a forma), essa série é exatamente
que é a série do enunciado.
Passo 5
Para checar por diferenciação termo a termo (validação extra): se definirmos
então diferenciando termo a termo (válido para
) obtemos
Como
, a solução da ED
com
é
. Logo
para
, confirmando o resultado do passo anterior.
Passo 6
Sobre os extremos do intervalo de convergência: a série de potências tem raio
. Nos pontos
e
a série converge condicionalmente por teste de Leibniz (série alternada com termos decrescentes para zero). Avaliando a soma nesses pontos e usando continuidade da função
(ou o valor conhecido
), obtemos
Portanto a série representa
também nos extremos por continuidade (somente convergência condicional nesses pontos).