Exercício 1.20. Aplicando diferenciação e integração termo a termo, encontre a soma das seguintes séries:
x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^{2 n-1}}{2 n-1}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n-1}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}
e instrui a usar diferenciação e integração termo a termo. Vou listar claramente o que temos e o que se pede:
  • Série dada: \displaystyle x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}+\cdots.
  • Objetivo: encontrar uma função explícita S(x) cuja expansão em série de potências seja a série acima, justificando o uso de integração/diferenciação termo a termo e indicando o domínio onde a igualdade vale.

Passo 2

Começo com a série geométrica conhecida e simples. Para uma variável \,u com |u|<1 vale
\frac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n u^{n}.
Explicação curta disso: a soma parcial \sum_{n=0}^{N}(-1)^n u^n é uma soma geométrica com razão -u; escrevendo a forma fechada e fazendo N\to\infty (quando |u|<1) obtém-se a fórmula acima. Essa série converge para \dfrac{1}{1+u} sempre que |u|<1.

Passo 3

Faço a substituição \,u=x^2 (isto é permitido quando |x^2|<1, ou seja, |x|<1). Com isso obtenho
\frac{1}{1+x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{2n},\qquad\text{para }|x|<1.
Aqui peguei u=x^2 a partir da série geométrica do passo anterior; o domínio de validade passa a ser |x|<1.

Passo 4

Agora integro ambos os lados termo a termo no intervalo de 0 até x. Justificativa informal: dentro do raio de convergência ( |x|<1) uma série de potências pode ser integrada termo a termo, produzindo outra série de potências com o mesmo raio de convergência. Integrando a esquerda obtenho
\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt.
Essa integral é conhecida: a primitiva de \dfrac{1}{1+t^{2}} é \arctan t e \arctan 0=0. Portanto
\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt=\arctan x.
Integrando a série termo a termo (troquei a variável de integração para t para não confundir com a variável externa x):
\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n t^{2n}\,dt=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\int_{0}^{x} t^{2n}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.
Note que \dfrac{x^{2n+1}}{2n+1} vem da antiderivada de t^{2n}. Comparando as duas integrais, para |x|<1 temos
\arctan x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.
Reindexando com n\mapsto n-1 (ou apenas observando a forma), essa série é exatamente
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n-1}\frac{x^{2n-1}}{2n-1},
que é a série do enunciado.

Passo 5

Para checar por diferenciação termo a termo (validação extra): se definirmos
S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n-1}\frac{x^{2n-1}}{2n-1},
então diferenciando termo a termo (válido para |x|<1) obtemos
S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n-1}x^{2n-2}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{2n}=\frac{1}{1+x^2}.
Como S(0)=0, a solução da ED y'=\dfrac{1}{1+x^2} com y(0)=0 é y=\arctan x. Logo S(x)=\arctan x para |x|<1, confirmando o resultado do passo anterior.

Passo 6

Sobre os extremos do intervalo de convergência: a série de potências tem raio 1. Nos pontos x=1 e x=-1 a série converge condicionalmente por teste de Leibniz (série alternada com termos decrescentes para zero). Avaliando a soma nesses pontos e usando continuidade da função \arctan x (ou o valor conhecido \arctan 1=\pi/4), obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n-1}\frac{1^{2n-1}}{2n-1}=\frac{\pi}{4}, \qquad \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n-1}\frac{(-1)^{2n-1}}{2n-1}=-\frac{\pi}{4}.
Portanto a série representa \arctan x também nos extremos por continuidade (somente convergência condicional nesses pontos).

Resposta

\arctan x para |x|<1
\dfrac{\pi}{4} para x=1
-\dfrac{\pi}{4} para x=-1

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