Exercício 25: Ache o vértice da parábola y=x^{2}-8 x+18.
Sugestão: a tangente no vértice é horizontal.

Passo 1

O enunciado dá a parábola definida pela função quadrática y=x^{2}-8x+18 e pede que a gente ache o vértice dessa parábola.
Informações relevantes fornecidas:
\text{o coeficiente de }x^{2}\text{ é }1,\quad\text{o coeficiente de }x\text{ é }-8,\quad\text{o termo constante é }18.ééé
O que é pedido: determinar as coordenadas do vértice da parábola (isto é, o ponto (x_v,y_v) onde a parábola atinge seu mínimo ou máximo).

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): vou usar o método de completar o quadrado para transformar a expressão em uma forma chamada “forma vértice” ou “forma canônica” da parábola. Essa forma é útil porque aparece explicitamente o vértice. A forma vértice de uma parábola é
y = a(x-h)^{2} + k,
onde (h,k) é o vértice. Aqui a é o mesmo coeficiente que multiplica (x-h)^{2} e indica se a parábola abre para cima ( a>0) ou para baixo ( a<0). No nosso caso a=1, então a parábola abre para cima (logo o vértice será um mínimo).

Passo 3

Agora vamos completar o quadrado em y=x^{2}-8x+18. Primeiro focamos na parte quadrática e linear:
x^{2}-8x.
Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de x e elevamos ao quadrado. O coeficiente de x é -8.

Passo 4

Calcule metade do coeficiente de x e seu quadrado:
\text{metade de }-8\text{ é }-4,\quad\text{e }(-4)^{2}=16.é

Passo 5

Agora reescrevemos x^{2}-8x+18 adicionando e subtraindo 16 (isso não muda a expressão) para formar um quadrado perfeito:
x^{2}-8x+18 = \bigl(x^{2}-8x+16\bigr) +18-16.

Passo 6

Observe que \bigl(x^{2}-8x+16\bigr) é um quadrado perfeito:
x^{2}-8x+16 = (x-4)^{2}.
Portanto a expressão fica
x^{2}-8x+18 = (x-4)^{2} +2.

Passo 7

Agora colocamos isso como forma vértice. Temos
y = (x-4)^{2} + 2.
Comparando com \;y=a(x-h)^{2}+k\; vemos que a=1, h=4 e k=2. Portanto o vértice é o ponto (h,k)=(4,2).

Passo 8

Explicação intuitiva e verificação alternativa (usando a sugestão do enunciado): a tangente no vértice é horizontal porque ali a parábola atinge seu extremo; em cálculo básico a inclinação da reta tangente é a derivada y'. Calculando a derivada de y=x^{2}-8x+18 temos
y' = 2x-8.
Para que a tangente seja horizontal precisamos de y'=0, logo
2x-8=0 \Rightarrow x=4.
Substituindo x=4 na função original,
y = 4^{2}-8\cdot4+18 = 16-32+18 = 2.
Isso confirma que o vértice é (4,2).

Passo 9

Resumo final do raciocínio: completando o quadrado obtivemos y=(x-4)^{2}+2, o que indica vértice em (4,2). A verificação pela derivada (tangente horizontal) também dá x=4 e y=2.

Resposta

(4,2)

Exercícios relacionados