Exercício 25: Ache o vértice da parábola
.
Sugestão: a tangente no vértice é horizontal.
Sugestão: a tangente no vértice é horizontal.
Passo 1
O enunciado dá a parábola definida pela função quadrática
e pede que a gente ache o vértice dessa parábola.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
O que é pedido: determinar as coordenadas do vértice da parábola (isto é, o ponto
onde a parábola atinge seu mínimo ou máximo).
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): vou usar o método de completar o quadrado para transformar a expressão em uma forma chamada “forma vértice” ou “forma canônica” da parábola. Essa forma é útil porque aparece explicitamente o vértice. A forma vértice de uma parábola é
onde
é o vértice. Aqui
é o mesmo coeficiente que multiplica
e indica se a parábola abre para cima (
) ou para baixo (
). No nosso caso
, então a parábola abre para cima (logo o vértice será um mínimo).
Passo 3
Agora vamos completar o quadrado em
. Primeiro focamos na parte quadrática e linear:
Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de
e elevamos ao quadrado. O coeficiente de
é
.
Passo 4
Calcule metade do coeficiente de
e seu quadrado:
Passo 5
Agora reescrevemos
adicionando e subtraindo
(isso não muda a expressão) para formar um quadrado perfeito:
Passo 6
Observe que
é um quadrado perfeito:
Portanto a expressão fica
Passo 7
Agora colocamos isso como forma vértice. Temos
Comparando com
vemos que
,
e
. Portanto o vértice é o ponto
.
Passo 8
Explicação intuitiva e verificação alternativa (usando a sugestão do enunciado): a tangente no vértice é horizontal porque ali a parábola atinge seu extremo; em cálculo básico a inclinação da reta tangente é a derivada
. Calculando a derivada de
temos
Para que a tangente seja horizontal precisamos de
, logo
Substituindo
na função original,
Isso confirma que o vértice é
.
Passo 9
Resumo final do raciocínio: completando o quadrado obtivemos
, o que indica vértice em
. A verificação pela derivada (tangente horizontal) também dá
e
.