Exercício 22. Calcule
, onde
a região limitada por
e
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
onde
é a região limitada pelas retas
,
e
.
Informações relevantes dadas:
- A função a integrar é
. - As curvas que limitam
são as retas , e .
O objetivo é determinar geometricamente a região
, escolher uma ordem de integração conveniente, montar a integral iterada correspondente e calcular o valor numérico da integral.
Passo 2
Encontrar os pontos de intersecção das retas para identificar os vértices da região
.
Intersecção entre
e
.
Ponto:
.
Intersecção entre
e
.
Ponto:
.
Intersecção entre
e
.
Então
.
Ponto: .
Ponto:
Portanto os vértices do triângulo
são
,
e
.
Passo 3
Descrever a região
e escolher a ordem de integração.
A região
é um triângulo com base sobre o eixo
de
até
, e vértice superior em
. Para um dado
entre
e
, a abscissa à esquerda é dada por resolver
em
e a abscissa à direita por resolver
em
. Assim é conveniente integrar primeiro em
(limites em função de
) e depois em
(limites numéricos únicos), porque isso evita ter que partir a integral em dois blocos em
.
Passo 4
Expressar as retas como
em função de
.
Da reta
obtemos
Da reta
obtemos
O valor máximo de
na região é
(do vértice encontrado no Passo 2). O valor mínimo é
.
Logo, para
temos
variando de
até
.
Passo 5
Escrever a integral iterada com os limites determinados.
Passo 6
Calcular a integral interna em
.
Antiderivada de
em
(com
tratado como constante):
Avaliar entre
e
.
No ponto
:
No ponto
:
Subtraindo (valor da integral interna):
Passo 7
Simplificar a expressão obtida para a integral interna.
Calcule cada termo separadamente.
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Calcular o coeficiente de
:
Portanto a integral interna simplificada é
Passo 8
Calcular a integral externa em
.
Encontrar a antiderivada:
Avaliar entre
e
.
Passo 9
Avaliar a antiderivada em
e subtrair o valor em
.
Calcule cada termo em
.
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Somar os dois primeiros termos com denominador comum
:
Agora subtrair o terceiro termo:
Como o valor em
é zero, o valor da integral dupla é
Passo 10
Conclusão final: o valor da integral dupla sobre a região
é
.