Exercício 22. Calcule \iint_{D}(x+3 y) d x d y, onde D a região limitada por y=0, y=2 x e y=-x+4.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{D}(x+3y)\,dx\,dy,
onde D é a região limitada pelas retas y=0, y=2x e y=-x+4.
Informações relevantes dadas:
  • A função a integrar é x+3y.
  • As curvas que limitam D são as retas y=0, y=2x e y=-x+4.
O objetivo é determinar geometricamente a região D, escolher uma ordem de integração conveniente, montar a integral iterada correspondente e calcular o valor numérico da integral.

Passo 2

Encontrar os pontos de intersecção das retas para identificar os vértices da região D.
Intersecção entre y=0 e y=2x.
0=2x \quad\Rightarrow\quad x=0.
Ponto: (0,0).
Intersecção entre y=0 e y=-x+4.
0=-x+4 \quad\Rightarrow\quad x=4.
Ponto: (4,0).
Intersecção entre y=2x e y=-x+4.
2x=-x+4 \quad\Rightarrow\quad 3x=4 \quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{4}{3}.
Então y=2x=2\cdot\tfrac{4}{3}=\tfrac{8}{3}.
Ponto: \left(\tfrac{4}{3},\tfrac{8}{3}\right).
Portanto os vértices do triângulo D são (0,0), (4,0) e \left(\tfrac{4}{3},\tfrac{8}{3}\right).

Passo 3

Descrever a região D e escolher a ordem de integração.
A região D é um triângulo com base sobre o eixo y=0 de x=0 até x=4, e vértice superior em y=\tfrac{8}{3}. Para um dado y entre 0 e \tfrac{8}{3}, a abscissa à esquerda é dada por resolver y=2x em x e a abscissa à direita por resolver y=-x+4 em x. Assim é conveniente integrar primeiro em x (limites em função de y) e depois em y (limites numéricos únicos), porque isso evita ter que partir a integral em dois blocos em x.

Passo 4

Expressar as retas como x em função de y.
Da reta y=2x obtemos
x=\tfrac{y}{2}.
Da reta y=-x+4 obtemos
x=4-y.
O valor máximo de y na região é y=\tfrac{8}{3} (do vértice encontrado no Passo 2). O valor mínimo é y=0.
Logo, para 0\le y\le \tfrac{8}{3} temos x variando de x=\tfrac{y}{2} até x=4-y.

Passo 5

Escrever a integral iterada com os limites determinados.
\iint_{D}(x+3y)\,dx\,dy = \int_{y=0}^{\tfrac{8}{3}}\left(\int_{x=\tfrac{y}{2}}^{\,4-y} (x+3y)\,dx\right)dy.

Passo 6

Calcular a integral interna em x.
Antiderivada de x+3y em x (com y tratado como constante):
\int (x+3y)\,dx = \tfrac{1}{2}x^2 + 3yx.
Avaliar entre x=\tfrac{y}{2} e x=4-y.
No ponto x=4-y:
\tfrac{1}{2}(4-y)^2 + 3y(4-y).
No ponto x=\tfrac{y}{2}:
\tfrac{1}{2}\Big(\tfrac{y}{2}\Big)^2 + 3y\Big(\tfrac{y}{2}\Big).
Subtraindo (valor da integral interna):
\Big[\tfrac{1}{2}(4-y)^2 + 3y(4-y)\Big] - \Big[\tfrac{1}{2}\Big(\tfrac{y}{2}\Big)^2 + 3y\Big(\tfrac{y}{2}\Big)\Big].

Passo 7

Simplificar a expressão obtida para a integral interna.
Calcule cada termo separadamente.
Para x=4-y:
\tfrac{1}{2}(4-y)^2 + 3y(4-y) = \tfrac{1}{2}(16-8y+y^2)+12y-3y^2 = 8-4y+\tfrac{1}{2}y^2+12y-3y^2 = 8+8y-\tfrac{5}{2}y^2.
Para x=\tfrac{y}{2}:
\tfrac{1}{2}\Big(\tfrac{y}{2}\Big)^2 + 3y\Big(\tfrac{y}{2}\Big) = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{y^2}{4} + \tfrac{3}{2}y^2 = \tfrac{y^2}{8} + \tfrac{3}{2}y^2 = \tfrac{13}{8}y^2.
Subtraindo:
8+8y-\tfrac{5}{2}y^2 - \tfrac{13}{8}y^2 = 8+8y - \Big(\tfrac{5}{2}+\tfrac{13}{8}\Big)y^2.
Calcular o coeficiente de y^2:
\tfrac{5}{2}=\tfrac{20}{8},\quad \tfrac{20}{8}+\tfrac{13}{8}=\tfrac{33}{8}.
Portanto a integral interna simplificada é
8+8y - \tfrac{33}{8}y^2.

Passo 8

Calcular a integral externa em y.
\int_{0}^{\tfrac{8}{3}}\left(8+8y - \tfrac{33}{8}y^2\right)dy.
Encontrar a antiderivada:
\int \left(8+8y - \tfrac{33}{8}y^2\right)dy = 8y + 4y^2 - \tfrac{33}{8}\cdot\tfrac{y^3}{3} = 8y + 4y^2 - \tfrac{11}{8}y^3.
Avaliar entre y=0 e y=\tfrac{8}{3}.

Passo 9

Avaliar a antiderivada em y=\tfrac{8}{3} e subtrair o valor em 0.
Calcule cada termo em y=\tfrac{8}{3}.
Primeiro termo:
8y = 8\cdot \tfrac{8}{3} = \tfrac{64}{3}.
Segundo termo:
4y^2 = 4\cdot \Big(\tfrac{8}{3}\Big)^2 = 4\cdot \tfrac{64}{9} = \tfrac{256}{9}.
Terceiro termo:
\tfrac{11}{8}y^3 = \tfrac{11}{8}\cdot \Big(\tfrac{8}{3}\Big)^3 = \tfrac{11}{8}\cdot \tfrac{512}{27} = \tfrac{5632}{216} = \tfrac{704}{27}.
Somar os dois primeiros termos com denominador comum 27:
\tfrac{64}{3} = \tfrac{576}{27},\qquad \tfrac{256}{9}=\tfrac{768}{27}.
\tfrac{576}{27}+\tfrac{768}{27}=\tfrac{1344}{27}.
Agora subtrair o terceiro termo:
\tfrac{1344}{27}-\tfrac{704}{27}=\tfrac{640}{27}.
Como o valor em y=0 é zero, o valor da integral dupla é
\tfrac{640}{27}.

Passo 10

Conclusão final: o valor da integral dupla sobre a região D é \tfrac{640}{27}.

Resposta

\dfrac{640}{27}

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