Exercício 4 Dados dois pontos A e B e um ângulo C O D determinar um ponto que diste igualmente de A e B e dos lados do ângulo. Discutir.

Passo 1

O enunciado pede um ponto P tal que
  1. P esteja à mesma distância de A e de B, e
  2. P esteja à mesma distância dos lados do ângulo ang<= COD.
    O que vamos usar: loci geométricos de pontos equidistantes de dois pontos (mediatriz) e de duas retas (bissetrizes de ângulo).

Passo 2

Locus de pontos equidistantes de A e de B: é a mediatriz do segmento AB.
Isto é, todo ponto P nessa reta satisfaz
PA = PB

Passo 3

Locus de pontos equidistantes das retas OC e OD: são as bissetrizes interna e externa do ângulo ang<= COD.
Em qualquer ponto P de uma bissetriz temos
d(P,,OC)=d(P,,OD),
onde d(cdot,cdot) é a distância perpendicular.

Passo 4

As soluções do problema são as interseções da mediatriz de AB com cada uma das bissetrizes de ang<= COD.
Em posição geral a mediatriz cruza a bissetriz interna num ponto P1 e a bissetriz externa num ponto P2.

Passo 5

Discussão de casos degenerados:
  • Se a mediatriz for paralela a uma das bissetrizes, não haverá interseção ali (nenhuma solução relativa a essa bissetriz).
  • Se a mediatriz coincidir com uma bissetriz, qualquer ponto dessa reta satisfaz as duas condições (infinitas soluções).
  • No caso geral, obtém-se exatamente duas soluções distintas:
    • P1 na interseção com a bissetriz interna, e
    • P2 na interseção com a bissetriz externa.

Resposta

Os pontos procurados são as interseções da mediatriz de AB com as bissetrizes interna e externa de ang<= COD. Em geral surgem duas soluções (uma em cada bissetriz); podem não existir ou ser infinitas nos casos degenerados descritos acima.

Exercícios relacionados