Exercício 4 Dados dois pontos
e
e um ângulo
determinar um ponto que diste igualmente de
e
e dos lados do ângulo. Discutir.
Passo 1
O enunciado pede um ponto
tal que
-
esteja à mesma distância de e de , e -
esteja à mesma distância dos lados do ângulo .
O que vamos usar: loci geométricos de pontos equidistantes de dois pontos (mediatriz) e de duas retas (bissetrizes de ângulo).
Passo 2
Locus de pontos equidistantes de
e de
: é a mediatriz do segmento
.
Isto é, todo ponto nessa reta satisfaz
Isto é, todo ponto
Passo 3
Locus de pontos equidistantes das retas
e
: são as bissetrizes interna e externa do ângulo
.
Em qualquer ponto de uma bissetriz temos
Em qualquer ponto
onde
é a distância perpendicular.
Passo 4
As soluções do problema são as interseções da mediatriz de
com cada uma das bissetrizes de
.
Em posição geral a mediatriz cruza a bissetriz interna num ponto e a bissetriz externa num ponto
.
Em posição geral a mediatriz cruza a bissetriz interna num ponto
Passo 5
Discussão de casos degenerados:
- Se a mediatriz for paralela a uma das bissetrizes, não haverá interseção ali (nenhuma solução relativa a essa bissetriz).
- Se a mediatriz coincidir com uma bissetriz, qualquer ponto dessa reta satisfaz as duas condições (infinitas soluções).
- No caso geral, obtém-se exatamente duas soluções distintas:
-
na interseção com a bissetriz interna, e -
na interseção com a bissetriz externa.
-
Resposta
Os pontos procurados são as interseções da mediatriz de
com as bissetrizes interna e externa de
. Em geral surgem duas soluções (uma em cada bissetriz); podem não existir ou ser infinitas nos casos degenerados descritos acima.