Exercício 23. Seja f(x)=\left(2 x^{2}+3 x+1\right)^{5}. Use a regra da cadeia para determinar f^{\prime}(x).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\left(2x^{2}+3x+1\right)^{5} e pede para determinar f^{\prime}(x).
Informações relevantes que temos:
  • A função é uma potência de uma expressão em x.
  • A expressão interna é 2x^{2}+3x+1.
  • Queremos a derivada em função de x.

Passo 2

Vamos lembrar a regra da cadeia de forma bem clara e prática. Se você tem uma função composta do tipo f(x)=h(g(x)), a regra da cadeia diz que
f'(x)=h'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Aqui g(x) é a função interna (o “recheio”) e h(u) é a função externa (o “invólucro”), escrita em termos de uma variável intermediária u. Ou seja: primeiro deriva-se a função externa em relação a u, avaliando-a em u=g(x); depois multiplica-se pelo derivado de g(x).
Também precisamos da regra da potência: se h(u)=u^{n} com n constante, então
h'(u)=n\,u^{n-1}.
Nessas fórmulas: x é a variável independente, u é a variável intermediária igual a g(x), n é um número (aqui n=5).

Passo 3

Identificamos as partes na nossa função:
\text{função externa } h(u)=u^{5},\qquad \text{função interna } g(x)=2x^{2}+3x+1.çãçã
Derivando a externa pelo poder:
h'(u)=5u^{4}.
Agora calculamos a derivada da interna g(x). Usamos a regra que diz que a derivada de ax^{n} é a n x^{n-1} e que a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Então:
g'(x)=\frac{d}{dx}\big(2x^{2}\big)+\frac{d}{dx}\big(3x\big)+\frac{d}{dx}\big(1\big)=2\cdot 2x + 3 + 0 = 4x+3.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
f'(x)=h'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)=5\big(g(x)\big)^{4}\cdot g'(x).
Substituindo g(x)=2x^{2}+3x+1 e g'(x)=4x+3,
f'(x)=5\big(2x^{2}+3x+1\big)^{4}\cdot(4x+3).

Passo 5

Podemos rearranjar um pouco para usar uma forma factorada conveniente para a prova: multiplicando o 5 pelo binômio (4x+3) obtemos
5(4x+3)=20x+15,
logo uma forma alternativa é
f'(x)=(20x+15)\big(2x^{2}+3x+1\big)^{4}.
Ambas as formas representam a mesma derivada; geralmente a forma 5(2x^{2}+3x+1)^{4}(4x+3) é a mais direta vindo da regra da cadeia.

Resposta

f'(x)=5\big(2x^{2}+3x+1\big)^{4}(4x+3)

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