Exercício 23. Seja
. Use a regra da cadeia para determinar
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A função é uma potência de uma expressão em
. - A expressão interna é
. - Queremos a derivada em função de
.
Passo 2
Vamos lembrar a regra da cadeia de forma bem clara e prática. Se você tem uma função composta do tipo
, a regra da cadeia diz que
Aqui
é a função interna (o “recheio”) e
é a função externa (o “invólucro”), escrita em termos de uma variável intermediária
. Ou seja: primeiro deriva-se a função externa em relação a
, avaliando-a em
; depois multiplica-se pelo derivado de
.
Também precisamos da regra da potência: se com
constante, então
Também precisamos da regra da potência: se
Nessas fórmulas:
é a variável independente,
é a variável intermediária igual a
,
é um número (aqui
).
Passo 3
Identificamos as partes na nossa função:
Derivando a externa pelo poder:
Agora calculamos a derivada da interna
. Usamos a regra que diz que a derivada de
é
e que a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Então:
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia:
Substituindo
e
,
Passo 5
Podemos rearranjar um pouco para usar uma forma factorada conveniente para a prova: multiplicando o
pelo binômio
obtemos
logo uma forma alternativa é
Ambas as formas representam a mesma derivada; geralmente a forma
é a mais direta vindo da regra da cadeia.