EXERCÍCIO 3.20: Determine a economia de trabalho absorvido por um compressor ao se utilizar dois estágios ao invés de um, se este opera a 5 \mathrm{~m} 3 / \mathrm{min} e 10 \mathrm{atmg} . \mathrm{k}=1,3.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos comparar o trabalho requerido por um compressor que eleva a pressão de P_1=1\\ \mathrm{atm} até P_2=10\\ \mathrm{atm(g)} (ou seja, P_2=11\\ \mathrm{atm} em valor absoluto), com vazão volumétrica de Q=5\\ \mathrm{m^3/min}, supondo gás ideal e processo adiabático reversível ( \kappa=1,3). Vamos usar a expressão do trabalho de compressão isentrópica em regime estacionário tanto para uma como para duas etapas com intercooler perfeito entre elas.

Passo 2

Trabalho por unidade de tempo (potência) para compressão única isentrópica pode ser escrito em função de P_1, Q e taxa \kappa. Partindo de
\dot W = \dot m\,c_p\,T_1\Bigl[(P_2/P_1)^{\frac{\kappa-1}{\kappa}}-1\Bigr]
e usando \dot m = \dfrac{P_1\,Q}{R\,T_1} e c_p=\dfrac{\kappa R}{\kappa-1}, obtemos
\dot W_1 = \frac{\kappa}{\kappa-1}\,P_1\,Q\Bigl[(P_2/P_1)^{\frac{\kappa-1}{\kappa}}-1\Bigr].

Passo 3

Para duas etapas com intercooler que retorna a T_1, o melhor rendimento ocorre se cada etapa elevar a mesma razão de pressão
P_{\rm int} = P_1\sqrt{\frac{P_2}{P_1}}.
O trabalho total é soma das duas etapas, cada uma com razão de pressão \sqrt{P_2/P_1}. Logo
\dot W_2 = 2\,\frac{\kappa}{\kappa-1}\,P_1\,Q\Bigl[\Bigl(\frac{P_2}{P_1}\Bigr)^{\frac{\kappa-1}{2\kappa}}-1\Bigr].

Passo 4

Substituindo os valores numéricos:
\kappa=1,3, P_2/P_1=11, Q=5\\ \mathrm{m^3/min}=0{,}08333\\ \mathrm{m^3/s}, P_1=1{,}01325\times10^5\\ \mathrm{Pa}. Calculamos
\dot W_1 = \frac{1{,}3}{0{,}3}\,P_1\,Q\Bigl[11^{0{,}23077}-1\Bigr] \approx 27{,}0\\ \mathrm{kW},
\dot W_2 = 2\,\frac{1{,}3}{0{,}3}\,P_1\,Q\Bigl[11^{0{,}11538}-1\Bigr] \approx 23{,}3\\ \mathrm{kW}.

Passo 5

A economia de potência ao usar duas etapas é a diferença
\Delta \dot W = \dot W_1 - \dot W_2 \approx 27{,}0\\ \mathrm{kW} - 23{,}3\\ \mathrm{kW} = 3{,}7\\ \mathrm{kW}.

Resposta

A economia de trabalho absorvido é de aproximadamente 3{,}7\\ \mathrm{kW}.

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