Questão 1. O comprimento de recém-nascidos pode ser considerado como uma variável aleatória de distribuição normal. Uma amostra de 20 recém-nascidos foram medidas no setor de Pediatria do Hospital das Clínicas da UNICAMP e obteve-se média amostral igual a 49,36 \mathrm{~cm} e desvio padrão amostral de 3,5 \mathrm{~cm}. Construa um intervalo de 96 \% de confiança para o comprimento médio dos recém nascidos.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede (tudo pegado do enunciado).
  • Tamanho da amostra: n=20.
  • Média amostral: \bar{x}=49,36\\ \text{cm}.
  • Desvio padrão amostral: s=3,5\\ \text{cm}.
  • Nível de confiança pedido: 96\%.
O que o enunciado pede: construir um intervalo de confiança de 96\% para o comprimento médio verdadeiro dos recém-nascidos (ou seja, para \mu).

Passo 2

Qual fórmula usar e por quê (passo didático).
  • Quando a variável é normal e o desvio padrão populacional \sigma é desconhecido (como aqui), a distribuição da média amostral padronizada usa a distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade.
  • A fórmula do intervalo de confiança bilateral para a média é
\bar{x}\pm t_{\,n-1,\,1-\alpha/2}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • \bar{x} é a média amostral (a estimativa pontual de \mu).
  • t_{\,n-1,\,1-\alpha/2} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade, tal que a área à sua esquerda é 1-\alpha/2.
  • s é o desvio padrão amostral.
  • \sqrt{n} é a raiz quadrada do tamanho da amostra.
  • \alpha é o nível de significância; para confiança 96\%, \alpha=0,04 e \alpha/2=0,02.

Passo 3

Calcular os parâmetros numéricos necessários.
  • Primeiro calcule \alpha: \alpha=1-0,96=0,04.
  • Assim, precisamos de t_{\,n-1,\,1-\alpha/2}=t_{\,19,\,0,98} (porque n-1=19 e 1-\alpha/2=0,98).
  • Consultando uma tabela da distribuição t ou calculadora estatística, obtém-se aproximadamente
t_{\,19,\,0,98}\approx 2,235.
(Se a tabela usada der um valor ligeiramente diferente, o resultado final muda pouco; o procedimento é o mesmo.)

Passo 4

Calcular o erro padrão da média e a margem de erro.
  • O erro padrão da média é
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{3,5\\ \text{cm}}{\sqrt{20}}.
  • Calcular \sqrt{20}: \sqrt{20}\approx 4,4721.
  • Portanto
\frac{s}{\sqrt{n}}\approx\frac{3,5}{4,4721}\approx 0,7829\\ \text{cm}.
  • A margem de erro (ME) é
\text{ME}=t_{19,0,98}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}\approx 2,235\cdot 0,7829\approx 1,7497\\ \text{cm}.

Passo 5

Montar o intervalo de confiança e interpretar.
  • O intervalo de confiança de 96\% é
\bar{x}\pm \text{ME}=49,36\\ \text{cm}\pm 1,7497\\ \text{cm}.
  • Cálculo dos extremos:
\text{limite inferior}=49,36-1,7497\approx 47,6103\\ \text{cm},
\text{limite superior}=49,36+1,7497\approx 51,1097\\ \text{cm}.
  • Arredondando para duas casas decimais (usando vírgula decimal conforme solicitado), obtemos o intervalo
(47,61\\ \text{cm},\\\ 51,11\\ \text{cm}).
Interpretação curta e amigável: com 96\% de confiança, o comprimento médio verdadeiro dos recém-nascidos está entre aproximadamente 47,61\\ \text{cm} e 51,11\\ \text{cm}.

Resposta

\,47,61\\ \text{cm} < \mu < 51,11\\ \text{cm}

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