Exercício 20 - (FUVEST, 2020) A dona de uma lanchonete observou que, vendendo um combo a R$10,00, 200 deles são vendidos por dia, e que, para cada redução de R$ 1,00 nesse preço, ela vende 100 combos a mais. Nessas condições, qual é a máxima arrecadação diária que ela espera obter com a venda desse combo?
a) 2.000,00$
b) 3.200,00$
c) 3.600,00$
d) 4.000,00$
e) 4.800,00$

Passo 1

O enunciado diz que, a um preço de R$ , vendem-se combos por dia, e que cada redução de R$ no preço aumenta as vendas em unidades. O conteúdo aqui é modelar a receita diária como função quadrática e encontrar o seu máximo.

Passo 2

Seja x o número de reduções de R$ 1,00 aplicadas ao preço original.
Então o preço de venda passa a ser
P(x)=10 - x
e a quantidade vendida passa a ser
Q(x)=200 + 100x

Passo 3

A receita diária R(x) é o produto entre preço e quantidade. Logo,
R(x)=(10 - x),(200 + 100x)
Para facilitar, expandimos essa expressão:
R(x)=2000 +1000x -200x -100x^2 = -100x^2 +800x +2000

Passo 4

Como o coeficiente de x^2 em -100x^2 +800x +2000 é negativo, trata-se de uma parábola voltada para baixo, cujo máximo ocorre no vértice. Para uma função ax^2+bx+c, o vértice em x é dado por
xv = -b2a = -8002cdot(-100) = 4

Passo 5

Isso significa que a redução ótima é x=4. Nesse caso, o preço vira 10-4=6 reais e as vendas 200+100cdot4=600 unidades. Portanto, a receita máxima é
Rmax = 6 times 600 = 3600

Resposta

c) R$ 3.600,00

Exercícios relacionados